Encontre o limite ou mostre que ele n ao existe.
lim x infty(2 x^2-1)^2
(x-1)^2(x^2+x).

Passo 1

Vamos encontrar o limite da função quando se aproxima de infinito. Para isso, vamos usar conceitos de limites no infinito e manipulação algébrica de expressões racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o numerador (2x^2 - 1)^2 = 4x^4 - 4x^2 + 1 . Isso resulta em:

Passo 3

Agora, vamos analisar o denominador (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1 . Expandindo (x^2 - 2x + 1)(x^2 + x) = x^4 - x^3 - 2x^3 + 2x^2 + x^2 - x = x^4 - 3x^3 + 3x^2 - x , temos:
Portanto, o denominador fica:

Passo 4

Agora, podemos reescrever o limite com as expressões expandidas:
limx to infty 4x^4 - 4x^2 + 1x^4 - 3x^3 + 3x^2 - x
Para encontrar o limite quando 4x^4x^4 = 4 tende ao infinito, observamos os termos de maior grau no numerador e denominador, que são e , respectivamente. Assim, o limite é:

Resposta

O limite é igual a .

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