Encontre o limite da sequência
.
Passo 1
Vamos resolver o limite da sequência
. Para isso, vamos usar conhecimentos de limites em cálculo, analisando como cada parte da expressão se comporta quando
fica muito grande. Precisamos entender o comportamento do cosseno e como simplificar a expressão para encontrar o limite final.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o numerador
. Aqui, o termo
cresce sem parar conforme
aumenta, enquanto
oscila entre -1 e 1. Isso significa que, para valores grandes de
,
será muito maior que
.
Passo 3
Agora, no denominador
, o termo
também cresce sem limite quando
aumenta, e o 2 se torna relativamente pequeno em comparação com
.
Passo 4
Para simplificar a expressão, vamos dividir cada termo do numerador e do denominador por
:
Passo 5
Agora, vamos analisar o que acontece quando
tende ao infinito:
-
tende a 0, porque está sempre entre -1 e 1, e dividir por faz com que esse termo desapareça. -
também tende a 0 pelo mesmo motivo.
Portanto, a expressão simplifica para:
Resposta
O limite da sequência
quando
tende ao infinito é 3.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Determine se a série
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Esboce e calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo-
da regiào sob a curva
.
Calcule as seguintes integrais definidas: