Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a expressão geral da série. O termo geral é:
Aqui, temos uma série alternada por causa do . Para analisar a convergência, precisamos olhar tanto para a série original quanto para a série dos valores absolutos .
Passo 3
Vamos verificar a convergência absoluta primeiro, ou seja, se a série converge.
Para simplificar, observamos que o numerador é o produto dos primeiros números ímpares, que pode ser representado como:
O denominador é o produto de termos na forma para até . Não há uma representação direta simples, mas podemos comparar o crescimento do numerador e denominador. Usando o teste da razão:
Após simplificar, veremos que , indicando que a série dos valores absolutos diverge.
Passo 4
Como a série de valores absolutos diverge, vamos verificar a convergência condicional usando o teste da série alternada. Esse teste diz que se os termos são decrescentes e tendem a zero, a série alternada converge.
Analisando , vemos que os termos são positivos, decrescentes e tendem a zero. Portanto, a série original satisfaz as condições para o teste da série alternada.