Determine se a série sumn=1^infty(-1)^n 1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot(2 n-1)1 cdot 4 cdot 7 cdot ldots cdot(3 n-2) é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a expressão geral da série. O termo geral é:
an = (-1)^n 1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot (2n-1)1 cdot 4 cdot 7 cdot ldots cdot (3n-2)
Aqui, temos uma série alternada por causa do . Para analisar a convergência, precisamos olhar tanto para a série original quanto para a série dos valores absolutos .

Passo 3

Vamos verificar a convergência absoluta primeiro, ou seja, se a série |an| = 1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot (2n-1)1 cdot 4 cdot 7 cdot ldots cdot (3n-2) converge.
1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot (2n-1) = (2n)!)2^n n!
Para simplificar, observamos que o numerador é o produto dos primeiros L = limn to infty | an+1an | números ímpares, que pode ser representado como:
O denominador é o produto de termos na forma para até . Não há uma representação direta simples, mas podemos comparar o crescimento do numerador e denominador. Usando o teste da razão:
Após simplificar, veremos que , indicando que a série dos valores absolutos diverge.

Passo 4

Como a série de valores absolutos diverge, vamos verificar a convergência condicional usando o teste da série alternada. Esse teste diz que se os termos são decrescentes e tendem a zero, a série alternada converge.
Analisando , vemos que os termos são positivos, decrescentes e tendem a zero. Portanto, a série original satisfaz as condições para o teste da série alternada.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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