Encontre a transformada de Laplace inversa de usando a teoria da convolução.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace inversa de usando a teoria da convolução. Isso está relacionado ao estudo das transformadas de Laplace e, mais especificamente, à propriedade da convolução que nos ajuda a encontrar a transformada inversa de produtos de funções no domínio de .
Passo 2
Primeiro, vamos identificar duas funções cuja transformada de Laplace multiplicada resulta em . Observando , podemos separar em dois fatores:
Vamos chamar e .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as transformadas inversas de e .
Para , sabemos que:
Isso porque a transformada de Laplace de uma função constante igual a 1 é .
Para , usamos a tabela de transformadas de Laplace:
Aqui, e , então:
Passo 4
Agora, aplicamos a teoria da convolução. A convolução de duas funções e é dada por:
Sabemos que e . Então:
Vamos simplificar a integral:
Substituindo , então e os limites de integração ficam de para :