Encontre a transformada de Laplace inversa de usando a teoria da convolução.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace inversa de usando a teoria da convolução. Isso está relacionado ao estudo das transformadas de Laplace e, mais especificamente, à propriedade da convolução que nos ajuda a encontrar a transformada inversa de produtos de funções no domínio de .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar duas funções cuja transformada de Laplace multiplicada resulta em . Observando , podemos separar em dois fatores:
Vamos chamar e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as transformadas inversas de e .
  • Para , sabemos que:
Isso porque a transformada de Laplace de uma função constante igual a 1 é .
  • Para , usamos a tabela de transformadas de Laplace:
Aqui, e , então:

Passo 4

Agora, aplicamos a teoria da convolução. A convolução de duas funções e é dada por:
Sabemos que e . Então:
Vamos simplificar a integral:
Substituindo , então e os limites de integração ficam de para :
Essa é uma integral conhecida que resulta em:

Resposta

A transformada de Laplace inversa de é:

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Descreva o domínio de em palavras. .
Encontre a solução do problema de valor inicial e .
Encontre o maior intervalo no qual o PVI dado certamente possui uma única solução.
Seja . Determine .