Encontre o maior e o menor valor assumido pela função f(x) = 10 + 12 cos(x) + 5 sen(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o maior e o menor valor que a função pode assumir. Aqui, estamos trabalhando com funções trigonométricas, especificamente com combinações de seno e cosseno. Para resolver isso, vamos precisar combinar os termos de seno e cosseno em uma única função trigonométrica, o que vai facilitar encontrar os valores máximos e mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os termos e . A gente pode combinar esses dois termos em uma única função do tipo ou , onde é a amplitude e é o ângulo de fase. Para isso, usamos a fórmula:
onde é o coeficiente de e é o coeficiente de .

Passo 3

Vamos calcular :
Então, podemos reescrever a função assim:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor de , mas, para propósito de encontrar os valores máximo e mínimo, na verdade não precisamos desse valor específico. Sabemos que a função varia entre -1 e 1. Então, o termo vai variar entre -13 e 13.

Passo 5

Considerando isso, a função fica entre:
Ou seja:

Resposta

O maior valor da função é e o menor valor é .

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