Calcule a integral definida: integral0^2 2 xraiz9+4 x^2 d x

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral definida . Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especialmente integrais que envolvem substituição. Vamos precisar usar uma substituição para simplificar a integral e facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique o denominador. Vamos definir . Isso porque a expressão dentro da raiz quadrada é um bom candidato para substituição.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dudx = 8x implies du = 8x,dx em relação a x,dx = du8 :
Observe que temos na integral original. Podemos rearranjar a expressão de para obter :
Assim, .

Passo 4

Substituindo na integral original, temos:
integral 2xraiz9 + 4x^2 dx = integral 14 duraizu = 14 integral u^-1/2 du
A integral de é .

Passo 5

Integrando, obtemos:
14 times 2u^1/2 = 12 raizu + C
Agora, substituímos 12 raiz9 + 4x^2 + C de volta para :

Passo 6

Finalmente, aplicamos os limites de integração de 0 a 2:
[ 12 raiz9 + 4x^2 ]0^2 = 12 raiz9 + 4(2)^2 - 12 raiz9 + 4(0)^2
Calculando cada parte:
12 raiz9 + 16 - 12 raiz9 = 12 raiz25 - 12 times 3 = 12 times 5 - 32 = 52 - 32 = 1

Resposta

O valor da integral definida é .

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