Resolva o problema de valor inicial .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial. A gente tem uma equação diferencial:
Esse tipo de problema está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais Ordinárias, mais especificamente, vai envolver técnicas como verificar se a equação é exata e encontrar fatores integrantes. Vamos precisar usar cálculo diferencial e algumas substituições para simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação na forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Vamos calcular:
Como , a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 3

Vamos tentar encontrar um fator integrante que depende apenas de . Para isso, usamos a fórmula:
Calculando o numerador:
Dividindo pelo :
Isso mostra que um fator integrante depende de , então talvez seja melhor tentar uma substituição.

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir:
Dessa forma,
Substituindo na equação original:
Simplificando:

Passo 5

Agora, temos uma equação separável. Vamos integrar os dois lados:
A integral do lado esquerdo é simples:
Para o lado direito, usamos integração por partes:
Assim, nossa equação fica:
Simplificando:
Lembrando que :

Passo 6

Vamos isolar :

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor da constante :
Sabemos que e , então:

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
Ou simplificando os termos constantes:

Exercícios relacionados

Calcule a integral definida:
Encontre o maior e o menor valor assumido pela função .
Considere a equação . Mostre que essa equação não é exata.
Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta. A integral imprópria é divergente.