Resolva o problema de valor inicial
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial. A gente tem uma equação diferencial:
Esse tipo de problema está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais Ordinárias, mais especificamente, vai envolver técnicas como verificar se a equação é exata e encontrar fatores integrantes. Vamos precisar usar cálculo diferencial e algumas substituições para simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação na forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Vamos calcular:
Como
, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 3
Vamos tentar encontrar um fator integrante que depende apenas de
. Para isso, usamos a fórmula:
Calculando o numerador:
Dividindo pelo
:
Isso mostra que um fator integrante depende de
, então talvez seja melhor tentar uma substituição.
Passo 4
Vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir:
Dessa forma,
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Passo 5
Agora, temos uma equação separável. Vamos integrar os dois lados:
A integral do lado esquerdo é simples:
Para o lado direito, usamos integração por partes:
Assim, nossa equação fica:
Simplificando:
Lembrando que
:
Passo 6
Vamos isolar
:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor da constante
:
Sabemos que
e , então:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
Ou simplificando os termos constantes:
Exercícios relacionados
Calcule a integral definida:
Encontre o maior e o menor valor assumido pela função
.
Considere a equação
. Mostre que essa equação não é exata.
Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta. A integral imprópria
é divergente.