Encontre a massa e o centro de gravidade do sólido. O cubo com densidade delta(x, y, z) = a - x, definido pelas desi. gualdades 0 <= x <= a, 0 <= y <= a e 0 <= z <= a.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar a massa e o centro de gravidade de um sólido que é um cubo. A densidade desse cubo varia de acordo com as coordenadas, sendo dada por . As limitações do cubo são 0 <= x <= a, 0 <= y <= a e 0 <= z <= a. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral para calcular a massa e as coordenadas do centro de gravidade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa do cubo. A massa M de um sólido com densidade variável é dada pela integral tripla da densidade sobre o volume do sólido:
Como nosso cubo vai de 0 a a em todas as direções, a integral fica:

Passo 3

Vamos resolver a integral mais interna primeiro, que é em relação a x:
Então, a massa fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a y:
E então, integraremos em relação a z:

Passo 5

Agora que temos a massa, vamos encontrar as coordenadas do centro de gravidade . As fórmulas para as coordenadas do centro de gravidade são:

Passo 6

Vamos calcular primeiro:
Vamos resolver a integral em x:
Então,

Passo 7

Agora, vamos calcular :
A integral em x é similar à anterior, mas agora temos um y extra:
Então,

Passo 8

Da mesma forma, vamos calcular :
A integral em x é novamente , então:

Resposta

A massa do cubo é e as coordenadas do centro de gravidade são .

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