Encontre a massa e o centro de gravidade do sólido. O cubo com densidade , definido pelas desi. gualdades e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar a massa e o centro de gravidade de um sólido que é um cubo. A densidade desse cubo varia de acordo com as coordenadas, sendo dada por . As limitações do cubo são , e . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral para calcular a massa e as coordenadas do centro de gravidade.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a massa do cubo. A massa de um sólido com densidade variável é dada pela integral tripla da densidade sobre o volume do sólido:
Como nosso cubo vai de 0 a em todas as direções, a integral fica:
Passo 3
Vamos resolver a integral mais interna primeiro, que é em relação a :
Então, a massa fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar em relação a :
E então, integraremos em relação a :
Passo 5
Agora que temos a massa, vamos encontrar as coordenadas do centro de gravidade . As fórmulas para as coordenadas do centro de gravidade são:
Passo 6
Vamos calcular primeiro:
Vamos resolver a integral em x:
Então,
Passo 7
Agora, vamos calcular :
A integral em x é similar à anterior, mas agora temos um y extra:
Então,
Passo 8
Da mesma forma, vamos calcular :
A integral em x é novamente , então:
Resposta
A massa do cubo é e as coordenadas do centro de gravidade são .