Prove que é uma solução da equação diferencial dada:
(b)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para provar que a função é uma solução da equação diferencial . Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem, que envolvem derivadas de funções desconhecidas. Para resolver isso, precisamos calcular a derivada de e verificar se, ao substituir na equação, ela satisfaz a igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de em relação a . A função dada é , onde é uma constante real. A derivada de em relação a é , usando a regra da cadeia.
Então, .

Passo 3

Agora, vamos substituir e na equação diferencial original :

Passo 4

Simplificando a expressão:

Resposta

Encontramos que a equação se reduz a , o que confirma que satisfaz a equação diferencial .

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Encontre a solução geral da equação diferencial e ilustre-a graficamente:
a-)
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(a) ao quadrado da distância à origem;
(b) à distância ao eixo .
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