Prove que
é uma solução da equação diferencial dada:
(b)
(b)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para provar que a função
é uma solução da equação diferencial
. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem, que envolvem derivadas de funções desconhecidas. Para resolver isso, precisamos calcular a derivada de
e verificar se, ao substituir na equação, ela satisfaz a igualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
em relação a
. A função dada é
, onde
é uma constante real. A derivada de
em relação a
é
, usando a regra da cadeia.
Então,
.
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na equação diferencial original
:
Passo 4
Simplificando a expressão:
Resposta
Encontramos que a equação se reduz a
, o que confirma que
satisfaz a equação diferencial
.
Exercícios relacionados
Encontre a massa e o centro de gravidade do sólido. O cubo com densidade
, definido pelas desi. gualdades
e
.
Encontre a solução geral da equação diferencial e ilustre-a graficamente:
a-)
a-)
Encontre o centro de gravidade da lâmina quadrada com vétrices
e
se a densidade for proporcional
(a) ao quadrado da distância à origem;
(b) à distância ao eixo .
(a) ao quadrado da distância à origem;
(b) à distância ao eixo
Encontre o raio
e o intervalo
de convergência da série.
;