Encontre o centro de gravidade da lâmina quadrada com vétrices e se a densidade for proporcional
(a) ao quadrado da distância à origem;
(b) à distância ao eixo .

Passo 1

Então, a gente tem uma lâmina quadrada com os vértices em (0,0), (1,0), (0,1) e (1,1). A questão aqui é encontrar o centro de gravidade dessa lâmina quando a densidade varia de duas maneiras diferentes. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o centro de gravidade usando integrais duplas, levando em conta a densidade que está estipulada no problema.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a), onde a densidade é proporcional ao quadrado da distância à origem. A distância de um ponto (x, y) à origem é dada por , então o quadrado dessa distância é . Isso significa que a densidade, , é igual a , onde é uma constante de proporcionalidade. Mas como a constante não afeta a posição do centro de gravidade, podemos simplificar e considerar .

Passo 3

Para encontrar o centro de gravidade , usamos as fórmulas:
Onde �� a área da lâmina, que no nosso caso é o quadrado de 0 a 1 em ambos os eixos.

Passo 4

Vamos calcular o denominador primeiro, que é a massa total:

Passo 5

Agora, vamos calcular o numerador para :
Então,

Passo 6

De maneira semelhante, para :
Então,

Resposta

O centro de gravidade da lâmina quadrada com densidade proporcional ao quadrado da distância à origem é .

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Prove que é uma solução da equação diferencial dada:
(b)
Encontre a massa e o centro de gravidade do sólido. O cubo com densidade , definido pelas desi. gualdades e .
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;
Resolva as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis:
b-)