Encontre o centro de gravidade da lâmina quadrada com vétrices e se a densidade for proporcional
(a) ao quadrado da distância à origem;
(b) à distância ao eixo .
Passo 1
Então, a gente tem uma lâmina quadrada com os vértices em (0,0), (1,0), (0,1) e (1,1). A questão aqui é encontrar o centro de gravidade dessa lâmina quando a densidade varia de duas maneiras diferentes. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o centro de gravidade usando integrais duplas, levando em conta a densidade que está estipulada no problema.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a), onde a densidade é proporcional ao quadrado da distância à origem. A distância de um ponto (x, y) à origem é dada por , então o quadrado dessa distância é . Isso significa que a densidade, , é igual a , onde é uma constante de proporcionalidade. Mas como a constante não afeta a posição do centro de gravidade, podemos simplificar e considerar .
Passo 3
Para encontrar o centro de gravidade , usamos as fórmulas:
Onde �� a área da lâmina, que no nosso caso é o quadrado de 0 a 1 em ambos os eixos.
Passo 4
Vamos calcular o denominador primeiro, que é a massa total:
Passo 5
Agora, vamos calcular o numerador para :
Então,
Passo 6
De maneira semelhante, para :
Então,
Resposta
O centro de gravidade da lâmina quadrada com densidade proporcional ao quadrado da distância à origem é .