Calcule o volume do sólido determinado por todos os pontos tais que

Passo 1

Beleza, vamos calcular o volume do sólido definido pelos pontos que satisfazem as condições:
Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente o uso de integrais triplas para encontrar volumes. Vamos precisar definir os limites de integração para , e e então montar a integral tripla para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de cada variável:
  • está entre 0 e ( e )
  • está entre e ( )
  • está entre 0 e um valor que faz , ou seja,
Portanto, os limites são:

Passo 3

Agora, vamos montar a integral tripla que representa o volume do sólido :
Aqui, integramos primeiro, depois , e por último .

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Agora, a integral se reduz a:

Passo 5

Next, integrate with respect to :
Agora, a integral fica:

Passo 6

Porém, percebemos que varia de 0 a , e varia de a . Para simplificar, reorganizamos a ordem de integração para integrar depois de e . Assim, a integral correta é:
Agora, resolvemos a integral interna de :
E a integral se torna:

Passo 7

Agora, integramos em relação a :
Então, a integral restando é:

Passo 8

Expandindo :
Então, a integral torna-se:

Passo 9

Calculando cada integral:
Substituindo de volta:

Passo 10

Agora, calculamos os valores numéricos:
Portanto:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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