Calcule o volume do sólido
determinado por todos os pontos
tais que
Passo 1
Beleza, vamos calcular o volume do sólido
definido pelos pontos
que satisfazem as condições:
Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente o uso de integrais triplas para encontrar volumes. Vamos precisar definir os limites de integração para
,
e
e então montar a integral tripla para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de cada variável:
-
está entre 0 e ( e ) -
está entre e ( ) -
está entre 0 e um valor que faz , ou seja,
Portanto, os limites são:
Passo 3
Agora, vamos montar a integral tripla que representa o volume
do sólido
:
Aqui, integramos
primeiro, depois
, e por último
.
Passo 4
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Agora, a integral se reduz a:
Passo 5
Next, integrate with respect to
:
Agora, a integral fica:
Passo 6
Porém, percebemos que
varia de 0 a
, e
varia de
a
. Para simplificar, reorganizamos a ordem de integração para integrar
depois de
e
. Assim, a integral correta é:
Agora, resolvemos a integral interna de
:
E a integral se torna:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
Então, a integral restando é:
Passo 8
Expandindo
:
Então, a integral torna-se:
Passo 9
Calculando cada integral:
Substituindo de volta:
Passo 10
Agora, calculamos os valores numéricos:
Portanto:
Resposta
O volume do sólido
é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Encontre a massa e o centro de gravidade do sólido. O sólido com densidade
, envolvido por
(para
),
e
.
Encontre a massa e o centro de gravidade do sólido. O sólido com densidade
, envolvido por
(para
),
e
.
Encontre a massa e o centro de gravidade do sólido. O sólido cilíndrico com densidade
, envolvido por
e
.
Encontre o centro de gravidade do cubo determinado pelas desigualdades
se a densidade for proporcional
(a) ao quadrado da distância à origem;
(b) à soma das distâncias às faces do cubo que estão nos planos coordenados.
(a) ao quadrado da distância à origem;
(b) à soma das distâncias às faces do cubo que estão nos planos coordenados.