Encontre a massa e o centro de gravidade do sólido. O sólido com densidade
, envolvido por
(para
),
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Precisamos encontrar a massa e o centro de gravidade de um sólido cuja densidade é dada por
. O sólido está limitado pelas superfícies
(para
),
,
,
e
. Para isso, vamos usar integrais triplas para calcular a massa e as coordenadas do centro de gravidade.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a massa do sólido. A massa
é dada pela integral tripla da densidade sobre o volume do sólido:
Passo 3
Vamos definir os limites de integração. Observando as superfícies que limitam o sólido:
-
varia de a . - Para cada
, varia de a . - Para cada
, varia de a (já que implica ).
Então, os limites de integração são:
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral para a massa:
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 5
Substituindo na integral:
Agora, integramos em relação a
:
Passo 6
Substituindo novamente na integral:
Vamos calcular essa integral:
Passo 7
Então, a massa do sólido é:
Passo 8
Agora, vamos encontrar as coordenadas do centro de gravidade
. Vamos calcular cada uma delas separadamente usando as seguintes fórmulas:
Passo 9
Vamos começar com
:
Usando os mesmos limites de integração, configuramos a integral:
Integrando em relação a
:
Então:
Calculando a integral:
Então:
Passo 10
Agora, vamos calcular
:
Configurando a integral:
Integrando em relação a
:
Então:
Esta integral pode ser resolvida expandindo
:
Calculando cada termo:
Substituindo:
Então:
Passo 11
Por fim, vamos calcular
:
Configurando a integral:
Integrando em relação a
:
Então:
Calculando a integral:
Então:
Aproximadamente:
Resposta
A massa do sólido é
unidades de massa. O centro de gravidade está localizado nas coordenadas
.
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(para
),
e
.
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tais que
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determinado por todos os pontos
tais que
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, envolvido por
e
.