Encontre a massa e o centro de gravidade do sólido. O sólido com densidade , envolvido por (para ), e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Precisamos encontrar a massa e o centro de gravidade de um sólido cuja densidade é dada por . O sólido está limitado pelas superfícies (para ), , , e . Para isso, vamos usar integrais triplas para calcular a massa e as coordenadas do centro de gravidade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa do sólido. A massa é dada pela integral tripla da densidade sobre o volume do sólido:

Passo 3

Vamos definir os limites de integração. Observando as superfícies que limitam o sólido:
  • varia de a .
  • Para cada , varia de a .
  • Para cada , varia de a (já que implica ).
Então, os limites de integração são:

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral para a massa:
Primeiro, integramos em relação a :

Passo 5

Substituindo na integral:
Agora, integramos em relação a :

Passo 6

Substituindo novamente na integral:
Vamos calcular essa integral:

Passo 7

Então, a massa do sólido é:

Passo 8

Agora, vamos encontrar as coordenadas do centro de gravidade . Vamos calcular cada uma delas separadamente usando as seguintes fórmulas:

Passo 9

Vamos começar com :
Usando os mesmos limites de integração, configuramos a integral:
Integrando em relação a :
Então:
Calculando a integral:
Então:

Passo 10

Agora, vamos calcular :
Configurando a integral:
Integrando em relação a :
Então:
Esta integral pode ser resolvida expandindo :
Calculando cada termo:
Substituindo:
Então:

Passo 11

Por fim, vamos calcular :
Configurando a integral:
Integrando em relação a :
Então:
Calculando a integral:
Então:
Aproximadamente:

Resposta

A massa do sólido é unidades de massa. O centro de gravidade está localizado nas coordenadas .

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