Encontre a massa do fio cujo formato é o da curva de intersecção da esfera
e do plano
se a densidade do fio no ponto
é
.
Passo 1
Então, a gente tem um fio que segue o trajeto onde uma esfera de raio 1, dada pela equação
, cruza um plano descrito por
. A densidade do fio muda de ponto pra ponto e é dada por
. Nosso objetivo aqui é encontrar a massa desse fio. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica para achar a curva de interseção e cálculo integral para somar toda a densidade ao longo do fio.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a curva onde a esfera e o plano se encontram. Para isso, a gente vai usar as equações dadas:
Podemos resolver esse sistema para achar uma relação entre
e
em termos de um parâmetro.
Passo 3
Vamos escolher um parâmetro, digamos
, para facilitar a parametrização da curva. A gente pode expressar
,
e
em função de
:
Essa parametrização satisfaz as duas equações originais.
Passo 4
Agora, precisamos calcular o elemento de comprimento
. Isso é feito derivando as coordenadas em relação a
e encontrando a magnitude do vetor derivada:
Então,
Após calcular, descobrimos que
.
Passo 5
A densidade no ponto
é
. Usando nossa parametrização:
Passo 6
Finalmente, a massa
do fio é a integral da densidade vezes o elemento de comprimento ao longo de toda a curva:
Sabendo que
, temos:
Resposta
A massa do fio é
.
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não é o gradiente de um potencial. Encontre uma curva
fechada tal que
.
Resolva as equações:
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