Mostre que F=(y,-x) não é o gradiente de um potencial. Encontre uma curva C fechada tal que ointC F cdot d r neq 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o vetor F = (y, -x) não é o gradiente de nenhum potencial. Isso faz parte do estudo de campos vetoriais e potenciais, além de envolvimento com integrais de linha. Vamos precisar verificar se F satisfaz as condições para ser um campo conservativo (ou seja, ser o gradiente de algum potencial) e, se não for, encontrar uma curva fechada onde a integral de linha de F não seja zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um campo vetorial F = (P, Q) ser o gradiente de um potencial, ele precisa ser conservativo. Isso significa que as derivadas parciais precisam obedecer a condição:
partial Ppartial y = partial Qpartial x
No nosso caso, P = y e Q = -x. Então:
partial Ppartial y = partial (y)partial y = 1
partial Qpartial x = partial (-x)partial x = -1
Como 1 ≠ -1, essa condição não é satisfeita. Portanto, F não é o gradiente de nenhum potencial, ou seja, F não é conservativo.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma curva fechada C onde a integral de linha de F ao longo de C não seja zero. Uma escolha simples é usar um círculo ao redor da origem. Vamos parametrizar o círculo unitário:
r(t) = (cos t, sin t), 0 <= t <= 2pi
A integral de linha é dada por:
ointC F cdot dr = integral0^2pi F(r(t)) cdot r,'(t) , dt
Calculando cada parte:
F(r(t)) = (sin t, -cos t)
r,'(t) = (-sin t, cos t)
F cdot r,' = sin t cdot (-sin t) + (-cos t) cdot cos t = -sin^2 t - cos^2 t = -(sin^2 t + cos^2 t) = -1
Então, a integral fica:
ointC F cdot dr = integral0^2pi (-1) , dt = -2pi
Como , encontramos uma curva fechada onde a integral de linha de F não é zero.

Resposta

Portanto, mostramos que F = (y, -x) não é o gradiente de um potencial e encontramos a curva fechada C (o círculo unitário) onde .

Exercícios relacionados

Use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário.
a) ly^prime+4 y=e^-4 t y(0)=0
b) ly^prime-y=sen t y(0)=0
c) ly^prime prime-4 y^prime+4 y=t^3 e^2 t y(0)=y^prime(0)=0
d) ly^prime prime-y^prime=e^t cos t y(0)=y^prime(0)=0
e) ly^prime prime prime+2 y^prime prime-y^prime-2 y=sen 3 t y(0)=y^prime(0)=0, y^prime prime(0)=1
f) ly^i v-y=t y(0)=y^prime(0)=y^prime prime(0)=y^prime prime prime(0)=0
g) ly^prime prime+4 y=f(t) onde f(t)=c1,0 <= t<1 0, t >= 1 y(0)=0, y^prime(0)=-1
h) ly^prime prime+4 y=sent mho(t-2 pi) y(0)=1, y^prime(0)=0
i) ly^prime prime-5 y^prime+6 y=mho(t-1) y(0)=0, y^prime(0)=1
j)
Resolva as equações: m y'' - 3 y' + 2 y = e^t + e^{2 t}
Resolva as equações: g y'' + y = cos(x)
Encontre a massa do fio cujo formato é o da curva de intersecção da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1 e do plano x + y + z = 0 se a densidade do fio no ponto (x, y, z) é x^2.