Mostre que não é o gradiente de um potencial. Encontre uma curva fechada tal que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o vetor F = (y, -x) não é o gradiente de nenhum potencial. Isso faz parte do estudo de campos vetoriais e potenciais, além de envolvimento com integrais de linha. Vamos precisar verificar se F satisfaz as condições para ser um campo conservativo (ou seja, ser o gradiente de algum potencial) e, se não for, encontrar uma curva fechada onde a integral de linha de F não seja zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um campo vetorial F = (P, Q) ser o gradiente de um potencial, ele precisa ser conservativo. Isso significa que as derivadas parciais precisam obedecer a condição:
No nosso caso, P = y e Q = -x. Então:
Como 1 ≠ -1, essa condição não é satisfeita. Portanto, F não é o gradiente de nenhum potencial, ou seja, F não é conservativo.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma curva fechada C onde a integral de linha de F ao longo de C não seja zero. Uma escolha simples é usar um círculo ao redor da origem. Vamos parametrizar o círculo unitário:
A integral de linha é dada por:
Calculando cada parte:
Então, a integral fica:
Como , encontramos uma curva fechada onde a integral de linha de F não é zero.
Resposta
Portanto, mostramos que F = (y, -x) não é o gradiente de um potencial e encontramos a curva fechada C (o círculo unitário) onde .