Resolva as equações: p y'' - y' - 2 y = cosh(2 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de segunda ordem com um termo não homogêneo. Para resolver, precisamos encontrar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular do lado não homogêneo. Vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares e conhecer um pouco sobre funções hiperbólicas como o cosseno hiperbólico .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, assumimos uma solução da forma , onde é uma constante a ser determinada. Substituindo na equação homogênea, temos:
Dividindo tudo por (que nunca é zero), fica:
Essa é uma equação quadrática em .

Passo 3

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as raízes são:
Assim, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa . Sabemos que pode ser expresso como:
Portanto, tentaremos uma solução particular na forma:
onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 5

Calculando as derivadas de :
Substituindo , e na equação original:
Simplificando:

Passo 6

Igualando os coeficientes dos termos semelhantes:
Então, a solução particular é:

Passo 7

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
onde e são constantes que dependem das condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação é:
onde e são constantes arbitrárias.

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Resolva as equações: k y'' - y = 2 x sen(x)
Encontre a massa do fio cujo formato é o da curva de intersecção da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1 e do plano x + y + z = 0 se a densidade do fio no ponto (x, y, z) é x^2.
Use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário.
{ y^iv - y = t, y(0) = y'(0) = y''(0) = y'''(0) = 0 }.
Use a transformada de Laplace para resolver a equação integral dada ou a equação íntegro-diferencial.
a) f(t)+integral0^t(t-tau) f(tau) d tau=t
b) f(t)=2 t-4 integral0^t sen tau f(t-tau) d tau
c) f(t)=t e^t+integral0^t tau f(t-tau) d tau
d) f(t)+2 integral0^t cos (t-tau) f(tau) d tau=4 e^-t+ sent
e) f(t)+integral0^t f(tau) d tau=1
f) t-2 f(t)=integral0^t(e^tau-e^-tau) f(t-tau) d tau
g) y^prime(t)=1-sen t-integral0^t y(tau) d tau, y(0)=0
h) y^prime+6 y+9 integral0^t y(tau) d tau=1, y(0)=0
i) f(t)=cos t+integral0^t e^-tau f(t-tau) d tau