Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de segunda ordem com um termo não homogêneo (o ). Para resolver, a gente vai precisar:
Resolver a equação homogênea associada: .
Encontrar uma solução particular para a equação completa.
Somar essas duas soluções para obter a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea: .
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem, e para resolvê-la, usamos a equação característica. Vamos supor que a solução tem a forma , onde é uma constante a ser encontrada.
Substituindo na equação homogênea:
Dividindo ambos os lados por (que nunca é zero):
Resolvendo para :
Aqui, é a unidade imaginária. Então, as soluções da equação homogênea são combinações de funções seno e cosseno:
Onde e são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa .
Como o lado direito é , tentamos uma solução particular da forma:
Onde e são constantes a serem determinadas.
Calculando as derivadas:
Substituindo e na equação original:
Distribuindo :
Igualando os coeficientes dos termos semelhantes:
Então, a solução particular é:
Passo 4
Agora, juntamos a solução geral da equação diferencial, que é a soma da solução homogênea e da solução particular :