Resolva as equações: g y'' + y = cos(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de segunda ordem com um termo não homogêneo (o ). Para resolver, a gente vai precisar:
  1. Resolver a equação homogênea associada: .
  2. Encontrar uma solução particular para a equação completa.
  3. Somar essas duas soluções para obter a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea: .
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem, e para resolvê-la, usamos a equação característica. Vamos supor que a solução tem a forma , onde é uma constante a ser encontrada.
Substituindo na equação homogênea:
Dividindo ambos os lados por (que nunca é zero):
Resolvendo para :
Aqui, é a unidade imaginária. Então, as soluções da equação homogênea são combinações de funções seno e cosseno:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa .
Como o lado direito é , tentamos uma solução particular da forma:
Onde e são constantes a serem determinadas.
Calculando as derivadas:
Substituindo e na equação original:
Distribuindo :
Igualando os coeficientes dos termos semelhantes:
Então, a solução particular é:

Passo 4

Agora, juntamos a solução geral da equação diferencial, que é a soma da solução homogênea e da solução particular :

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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Mostre que F=(y,-x) não é o gradiente de um potencial. Encontre uma curva C fechada tal que ointC F cdot d r neq 0.
Use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário.
a) ly^prime+4 y=e^-4 t y(0)=0
b) ly^prime-y=sen t y(0)=0
c) ly^prime prime-4 y^prime+4 y=t^3 e^2 t y(0)=y^prime(0)=0
d) ly^prime prime-y^prime=e^t cos t y(0)=y^prime(0)=0
e) ly^prime prime prime+2 y^prime prime-y^prime-2 y=sen 3 t y(0)=y^prime(0)=0, y^prime prime(0)=1
f) ly^i v-y=t y(0)=y^prime(0)=y^prime prime(0)=y^prime prime prime(0)=0
g) ly^prime prime+4 y=f(t) onde f(t)=c1,0 <= t<1 0, t >= 1 y(0)=0, y^prime(0)=-1
h) ly^prime prime+4 y=sent mho(t-2 pi) y(0)=1, y^prime(0)=0
i) ly^prime prime-5 y^prime+6 y=mho(t-1) y(0)=0, y^prime(0)=1
j)
Encontre a massa do fio cujo formato é o da curva de intersecção da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1 e do plano x + y + z = 0 se a densidade do fio no ponto (x, y, z) é x^2.
Resolva as equações: k y'' - y = 2 x sen(x)