Encontre a matriz canônica da transformação que primeiro faz uma reflexão em relação ao eixo horizontal e, depois, faz uma rotação de radianos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a matriz canônica de uma transformação linear que primeiro reflete os pontos em relação ao eixo horizontal e depois rotaciona esses pontos radianos. Vamos usar conceitos de matrizes de transformações lineares e operações com matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a reflexão em relação ao eixo horizontal. Quando refletimos um ponto no eixo horizontal, a coordenada muda de sinal, enquanto a coordenada permanece a mesma. A matriz que faz essa reflexão é:

Passo 3

Agora, vamos ver a rotação de radianos. Rotacionar um ponto radianos no sentido horário é representado pela seguinte matriz:
Substituindo :

Passo 4

A transformação faz primeiro a reflexão e depois a rotação. Para encontrar a matriz canônica de , precisamos multiplicar as matrizes na ordem das transformações:

Resposta

A matriz canônica da transformação é:

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