Encontre a matriz canônica da transformação
que primeiro faz uma reflexão em relação ao eixo horizontal e, depois, faz uma rotação de
radianos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a matriz canônica de uma transformação linear
que primeiro reflete os pontos em relação ao eixo horizontal e depois rotaciona esses pontos
radianos. Vamos usar conceitos de matrizes de transformações lineares e operações com matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a reflexão em relação ao eixo horizontal. Quando refletimos um ponto no eixo horizontal, a coordenada
muda de sinal, enquanto a coordenada
permanece a mesma. A matriz que faz essa reflexão é:
Passo 3
Agora, vamos ver a rotação de
radianos. Rotacionar um ponto
radianos no sentido horário é representado pela seguinte matriz:
Substituindo
:
Passo 4
A transformação
faz primeiro a reflexão e depois a rotação. Para encontrar a matriz canônica de
, precisamos multiplicar as matrizes na ordem das transformações:
Resposta
A matriz canônica da transformação
é:
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Uma transformação linear
pode ser sobrejetora? Justifique!
Verifique se o conjunto
com as operações indicadas é um subespaço vetorial de
:
e , com as operações usuais.
e
Encontre, se existir, uma matriz
que diagonalize
e calcule
.