Verifique se o conjunto com as operações indicadas é um subespaço vetorial de :
e , com as operações usuais.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de . Aqui, é o conjunto de todas as matrizes com entradas reais. O conjunto é formado por matrizes da forma:
com as condições e . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais propriedades ele deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa ser um subespaço vetorial. Um conjunto é um subespaço vetorial de se atender a três condições:
  1. Contém o vetor nulo: A matriz zero deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se pegarmos duas matrizes quaisquer em e somarmos, o resultado também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos uma matriz qualquer de por um número real, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Contém o vetor nulo:
O vetor nulo em é a matriz zero:
Vamos verificar se essa matriz está em . Aqui, e . Além disso, se . Se e , então , o que satisfaz as condições. Portanto, a matriz zero está em .

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Vamos pegar duas matrizes quaisquer em :
Sabemos que em , , , e .
Vamos somar e :
Perceba que e . Isso segue as mesmas condições que definem , então está em .

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma matriz qualquer em e multiplicar por um escalar :
Multiplicando por :
Vemos que e . Isso também satisfaz as condições de , então está em .

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço vetorial de .

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