Uma transformação linear pode ser sobrejetora? Justifique!

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear . O objetivo é descobrir se essa transformação pode ser sobrejetora, ou seja, se todo vetor em pode ser alcançado aplicando a algum vetor em .

Passo 2

Para resolver isso, precisamos lembrar de um conceito importante da álgebra linear: o teorema da dimensão. Esse teorema nos diz que, para uma transformação linear , a dimensão da imagem de (chamada de posto de ) é no máximo igual à dimensão do espaço de partida .

Passo 3

No nosso caso, o espaço de partida é , que tem dimensão 3. Isso significa que o posto de também pode, no máximo, ser 3.

Passo 4

Agora, consideramos o espaço de chegada , que tem dimensão 4. Para ser sobrejetora, o posto de precisaria ser igual à dimensão de , ou seja, 4.

Passo 5

Mas, conforme vimos no Passo 3, o máximo que o posto de pode ser é 3. Isso significa que sempre haverá pelo menos um vetor em que não será alcançado por .

Resposta

Não, uma transformação linear não pode ser sobrejetora.

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