Uma transformação linear
pode ser sobrejetora? Justifique!
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear
. O objetivo é descobrir se essa transformação pode ser sobrejetora, ou seja, se todo vetor em
pode ser alcançado aplicando
a algum vetor em
.
Passo 2
Para resolver isso, precisamos lembrar de um conceito importante da álgebra linear: o teorema da dimensão. Esse teorema nos diz que, para uma transformação linear
, a dimensão da imagem de
(chamada de posto de
) é no máximo igual à dimensão do espaço de partida
.
Passo 3
No nosso caso, o espaço de partida é
, que tem dimensão 3. Isso significa que o posto de
também pode, no máximo, ser 3.
Passo 4
Agora, consideramos o espaço de chegada
, que tem dimensão 4. Para
ser sobrejetora, o posto de
precisaria ser igual à dimensão de
, ou seja, 4.
Passo 5
Mas, conforme vimos no Passo 3, o máximo que o posto de
pode ser é 3. Isso significa que sempre haverá pelo menos um vetor em
que não será alcançado por
.
Resposta
Não, uma transformação linear
não pode ser sobrejetora.
Exercícios relacionados
Considere o triângulo
cujos vértices são
e
. Represente o triângulo no plano cartesiano e calcule o comprimento da mediana
, sendo
o ponto médio do lado
.
Encontre a matriz canônica da transformação
que primeiro faz uma reflexão em relação ao eixo horizontal e, depois, faz uma rotação de
radianos.
Verifique se o conjunto
com as operações indicadas é um subespaço vetorial de
:
e , com as operações usuais.
e