Encontre, se existir, uma matriz
que diagonalize
e calcule
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz quadrada
e queremos encontrar uma matriz
que diagonalize
. Isso significa que queremos escrever
como
, onde
é uma matriz diagonal contendo os autovalores de
. Depois de encontrar
, também vamos calcular
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes.
Passo 2
O primeiro passo para diagonalizar
é encontrar seus autovalores. Os autovalores são valores
que satisfazem a equação característica
, onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos calcular o determinante
:
Agora, igualamos a zero:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática
:
Portanto, os autovalores são:
Passo 5
Com os autovalores
e
, agora encontramos os autovetores correspondentes a cada autovalor. Vamos começar com
.
Resolvemos
:
Isso nos dá o sistema:
Podemos escolher
, então o autovetor é
.
Passo 6
Agora, para
, resolvemos
:
O sistema é:
Escolhendo
, obtemos o autovetor
.
Passo 7
Agora que temos os autovalores e os autovetores, podemos formar a matriz
com os autovetores como colunas e a matriz diagonal
com os autovalores na diagonal:
Passo 8
Verificamos que
. Agora, para calcular
, usamos a propriedade de que
. Então, calculamos
:
Passo 9
Finalmente, calculamos
usando
,
e
:
Após realizar as multiplicações e simplificações, encontramos:
Resposta
A matriz
que diagonaliza
é
e
.
Exercícios relacionados
Verifique se o conjunto
com as operações indicadas é um subespaço vetorial de
:
e , com as operações usuais.
e
Encontre a matriz canônica da transformação
que primeiro faz uma reflexão em relação ao eixo horizontal e, depois, faz uma rotação de
radianos.
Escreva o vetor
como combinação dos vetores:
e
.
Dados
e
e
vetores em
e
, mostre as seguintes propriedades: