Encontre, se existir, uma matriz que diagonalize e calcule .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz quadrada e queremos encontrar uma matriz que diagonalize . Isso significa que queremos escrever como , onde é uma matriz diagonal contendo os autovalores de . Depois de encontrar , também vamos calcular . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes.

Passo 2

O primeiro passo para diagonalizar é encontrar seus autovalores. Os autovalores são valores que satisfazem a equação característica , onde é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos calcular o determinante :
Agora, igualamos a zero:

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática :
Portanto, os autovalores são:

Passo 5

Com os autovalores e , agora encontramos os autovetores correspondentes a cada autovalor. Vamos começar com .
Resolvemos :
Isso nos dá o sistema:
Podemos escolher , então o autovetor é .

Passo 6

Agora, para , resolvemos :
O sistema é:
Escolhendo , obtemos o autovetor .

Passo 7

Agora que temos os autovalores e os autovetores, podemos formar a matriz com os autovetores como colunas e a matriz diagonal com os autovalores na diagonal:

Passo 8

Verificamos que . Agora, para calcular , usamos a propriedade de que . Então, calculamos :

Passo 9

Finalmente, calculamos usando , e :
Após realizar as multiplicações e simplificações, encontramos:

Resposta

A matriz que diagonaliza é e .

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e .
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