Encontre a matriz da transformação linear em relação ás bases canônicas dos espaços envolvidos. .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a matriz da transformação linear em relação às bases canônicas dos espaços envolvidos.
Aqui, é uma função que pega uma matriz e transforma ela em outra matriz conforme a regra dada. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a representação de uma transformação linear em bases canônicas e aplicar isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar o que é a base canônica para o espaço das matrizes . A base canônica é um conjunto de matrizes que possuem um único elemento igual a 1 e os demais iguais a 0. Para matrizes , temos quatro dessas matrizes:
Essas vão ser as nossas “bases padrões” para começar a transformar.
Passo 3
Agora, para encontrar a matriz de , precisamos ver como a transformação age em cada uma dessas bases canônicas. Ou seja, vamos calcular , , e .
Vamos fazer isso um por um:
Aplicando em :
Aplicando em :
Aplicando em :
Aplicando em :
Passo 4
Agora que temos , , e , vamos expressar cada um deles como combinações lineares das bases canônicas. Isso significa identificar os coeficientes que multiplicam cada .
Vamos ver:
Para
Para
Para
Para
Passo 5
Agora, para construir a matriz representativa de , usamos os coeficientes que encontramos e organizamos eles em colunas, seguindo a ordem dos .
Então, a matriz de será:
Cada coluna representa como transforma uma das bases canônicas.
Resposta
A matriz da transformação linear 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & -1 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 0 em relação às bases canônicas é: