Encontre a matriz da transformação linear em relação ás bases canônicas dos espaços envolvidos.
T: M2 times 2(R) M2 times 2(R), T(lla & b c & d)=(cca+c & b-d c+d & 0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a matriz da transformação linear em relação às bases canônicas dos espaços envolvidos.
Aqui, é uma função que pega uma matriz e transforma ela em outra matriz conforme a regra dada. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a representação de uma transformação linear em bases canônicas e aplicar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é a base canônica para o espaço das matrizes E1 = 1 & 0 0 & 0 , E2 = 0 & 1 0 & 0 , E3 = 0 & 0 1 & 0 , E4 = 0 & 0 0 & 1 . A base canônica é um conjunto de matrizes que possuem um único elemento igual a 1 e os demais iguais a 0. Para matrizes , temos quatro dessas matrizes:
Essas vão ser as nossas “bases padrões” para começar a transformar.

Passo 3

Agora, para encontrar a matriz de T(E1) = T( 1 & 0 0 & 0 ) = 1 + 0 & 0 - 0 0 + 0 & 0 = 1 & 0 0 & 0 , precisamos ver como a transformação T(E2) = T( 0 & 1 0 & 0 ) = 0 + 0 & 1 - 0 0 + 0 & 0 = 0 & 1 0 & 0 age em cada uma dessas bases canônicas. Ou seja, vamos calcular T(E3) = T( 0 & 0 1 & 0 ) = 0 + 1 & 0 - 0 1 + 0 & 0 = 1 & 0 1 & 0 , T(E4) = T( 0 & 0 0 & 1 ) = 0 + 0 & 0 - 1 0 + 1 & 0 = 0 & -1 1 & 0 , e .
Vamos fazer isso um por um:
  1. Aplicando em :
  1. Aplicando em :
  1. Aplicando em :
  1. Aplicando em :

Passo 4

Agora que temos 1 & 0 0 & 0 , T(E1) = 1 cdot E1 + 0 cdot E2 + 0 cdot E3 + 0 cdot E4 , 0 & 1 0 & 0 e T(E2) = 0 cdot E1 + 1 cdot E2 + 0 cdot E3 + 0 cdot E4 , vamos expressar cada um deles como combinações lineares das bases canônicas. Isso significa identificar os coeficientes que multiplicam cada 1 & 0 1 & 0 .
Vamos ver:
  1. Para T(E3) = 1 cdot E1 + 0 cdot E2 + 1 cdot E3 + 0 cdot E4
0 & -1 1 & 0
  1. Para T(E4) = 0 cdot E1 - 1 cdot E2 + 1 cdot E3 + 0 cdot E4
  1. Para
  1. Para

Passo 5

Agora, para construir a matriz representativa de 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & -1 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 0 , usamos os coeficientes que encontramos e organizamos eles em colunas, seguindo a ordem dos .
Então, a matriz de será:
Cada coluna representa como transforma uma das bases canônicas.

Resposta

A matriz da transformação linear 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & -1 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 0 em relação às bases canônicas é:

Exercícios relacionados