Suponha uma base completa |arang<=,|brang<=,|crang<= de vetores ortonormais, tal que, a ação do operador A seja: $ \hat{A}|b\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|a\rangle-|b\rangle) $.
Diagonalize o operador A|brang<==1raiz2(|arang<=-|brang<=) e obtenha seus autovalores e autovetores.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para diagonalizar o operador A e encontrar seus autovalores e autovetores. O enunciado nos dá uma base completa composta pelos vetores ortonormais |arang<=, |brang<=, |crang<= e informa que a ação de A sobre |brang<= é A|brang<= = 1raiz2(|arang<= - |brang<=). Para resolver isso, vamos precisar entender como representar o operador A em forma de matriz nessa base e, em seguida, encontrar seus autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos representar o operador A como uma matriz na base |arang<=, |brang<=, |crang<=. Para isso, vamos determinar como A atua em cada um dos vetores da base.
Sabemos que:
  • A|brang<= = 1raiz2(|arang<= - |brang<=)
Mas o enunciado não nos diz como A age sobre |arang<= e |crang<=. Uma suposição razoável é que A não altera esses vetores, ou seja:
  • A|arang<= = 0
  • A|crang<= = 0
Com isso, podemos escrever a matriz de A na base dada:
A = 0 & 1raiz2 & 0 0 & -1raiz2 & 0 0 & 0 & 0
Cada coluna da matriz representa a imagem dos vetores base sob a ação de A.

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores de A, precisamos resolver a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade. Substituindo A:
det -lambda & 1raiz2 & 0 0 & -1raiz2 - lambda & 0 0 & 0 & -lambda = 0
O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal:
(-lambda) times (-1raiz2 - lambda) times (-lambda) = 0
Resolvendo a equação:
-lambda (-1raiz2 - lambda) (-lambda) = 0
Isso nos dá os autovalores:
lambda1 = 0, lambda2 = -1raiz2, lambda3 = 0

Passo 4

Com os autovalores encontrados, agora vamos determinar os autovetores correspondentes. Para cada autovalor lambda, resolvemos a equação:
(A - lambda I)|psirang<= = 0
Para lambda1 = 0:
A|psirang<= = 0
Isso implica que:
1raiz2 lang<= a| psi rang<= - 1raiz2 lang<= b| psi rang<= = 0
E como A não atua em |arang<= e |crang<=, os autovetores correspondentes a lambda=0 serão combinações lineares de |arang<= e |crang<=.
Podemos escolher:
|psi1rang<= = |arang<=, |psi3rang<= = |crang<=
Para lambda2 = -1raiz2:
(A + 1raiz2 I)|psirang<= = 0
Aplicando na matriz:

[
1raiz2 & 1raiz2 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1raiz2 lang<= a|psi rang<= lang<= b|psi rang<= lang<= c|psi rang<= = 0 0 0
1raiz2 lang<= a|psi rang<= + 1raiz2 lang<= b|psi rang<= = 0

|psi2rang<= = |arang<= - |brang<=
]
Isso nos leva a:
Podemos resolver isso escolhendo:

Resposta

Os autovalores do operador A são lambda1 = 0, lambda2 = -1raiz2 e lambda3 = 0. Os respectivos autovetores são:
|psi1rang<= = |arang<=, |psi2rang<= = |arang<= - |brang<=, |psi3rang<= = |crang<=

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