Suponha uma base completa de vetores ortonormais, tal que, a ação do operador seja: $ \hat{A}|b\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|a\rangle-|b\rangle) $.
Diagonalize o operador e obtenha seus autovalores e autovetores.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para diagonalizar o operador e encontrar seus autovalores e autovetores. O enunciado nos dá uma base completa composta pelos vetores ortonormais e informa que a ação de sobre é . Para resolver isso, vamos precisar entender como representar o operador em forma de matriz nessa base e, em seguida, encontrar seus autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, precisamos representar o operador como uma matriz na base . Para isso, vamos determinar como atua em cada um dos vetores da base.
Sabemos que:
Mas o enunciado não nos diz como age sobre e . Uma suposição razoável é que não altera esses vetores, ou seja:
Com isso, podemos escrever a matriz de na base dada:
Cada coluna da matriz representa a imagem dos vetores base sob a ação de A.
Passo 3
Agora, para encontrar os autovalores de A, precisamos resolver a equação característica: