Em um triângulo sejam e os pontos médios dos lados e , respectivamente. Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para considerar um triângulo e seus pontos médios (de ), (de ) e (de ). A gente precisa mostrar que a soma dos vetores dá o vetor zero, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e propriedades de pontos médios em triângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um ponto médio. Em um segmento de reta, o ponto médio divide o segmento em duas partes iguais. Então, por definição:
é o ponto médio de , então .
é o ponto médio de , então .
é o ponto médio de , então .
Passo 3
Vamos expressar cada vetor dado no enunciado em termos dos vetores dos lados do triângulo:
: Para achar esse vetor, podemos pensar que é o ponto médio de , então .
: Similarmente, é o ponto médio de , então .
: Já é o ponto médio de , então .
Passo 4
Agora, vamos somar esses três vetores:
AP + CM + BN = ( AB + 12BC ) + ( CB - 12AB ) + ( BA + 12AC )
Simplificando termo a termo:
AB - 12AB + BA + CB + 12BC + 12AC
Sabemos que AB - 12AB - AB - BC + 12BC + 12AC e (1 - 12 - 1)AB + (-1 + 12)BC + 12AC = -12AB - 12BC + 12AC , então substituindo: