Em um triângulo A B C sejam M, N e P os pontos médios dos lados A B, A C e B C, respectivamente. Mostre que
A P+C M+B N=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para considerar um triângulo e seus pontos médios (de ), (de ) e (de ). A gente precisa mostrar que a soma dos vetores dá o vetor zero, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e propriedades de pontos médios em triângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um ponto médio. Em um segmento de reta, o ponto médio divide o segmento em duas partes iguais. Então, por definição:
  • é o ponto médio de , então .
  • é o ponto médio de , então .
  • é o ponto médio de , então .

Passo 3

Vamos expressar cada vetor dado no enunciado em termos dos vetores dos lados do triângulo:
  • : Para achar esse vetor, podemos pensar que é o ponto médio de , então .
  • : Similarmente, é o ponto médio de , então .
  • : Já é o ponto médio de , então .

Passo 4

Agora, vamos somar esses três vetores:
AP + CM + BN = ( AB + 12BC ) + ( CB - 12AB ) + ( BA + 12AC )
Simplificando termo a termo:
AB - 12AB + BA + CB + 12BC + 12AC
Sabemos que AB - 12AB - AB - BC + 12BC + 12AC e (1 - 12 - 1)AB + (-1 + 12)BC + 12AC = -12AB - 12BC + 12AC , então substituindo:
-12AB - 12BC + 12(AB + BC) = 0
Agora, somando os coeficientes:
Observando que , substituímos:

Resposta

AP + CM + BN = 0

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