Encontre o máximo e o mínimo da função sujeita as restrições dadas: e

Passo 1

Entendendo o Enunciado
Temos que encontrar o máximo e o mínimo da função sujeita às seguintes restrições:
Conteúdo da Matéria: Este problema envolve otimização com restrições, utilizando métodos de substituição para reduzir o número de variáveis e encontrar os extremos da função.
O que vamos precisar:
  • Resolver sistemas de equações.
  • Substituir expressões para simplificar a função.
  • Analisar a função resultante para encontrar seus extremos.

Passo 2

Expressando uma Variável em Termos das Outras
Primeiro, vamos resolver a primeira restrição para encontrar em função de :

Passo 3

Substituindo na Segunda Restrição
Agora, substituímos na segunda restrição :
Observação: Para que seja real, deve ser maior ou igual a 1, ou seja, .

Passo 4

Substituindo nas Restrições na Função
Substituímos e na função :
Expandindo:

Passo 5

Analisando a Função Reduzida
Agora, temos uma função de uma única variável:
Para encontrar os extremos dessa função, devemos derivá-la em relação a e igualar a derivada a zero.
Derivando:
Igualando a zero:
Verificação das Restrições: Lembrando que , o valor não satisfaz a restrição. Portanto, não podemos considerar esse ponto.

Passo 6

Analisando os Valores nas Extremidades Permitidas
Como a derivada não fornece um ponto válido dentro das restrições, analisamos os valores nos limites possíveis de :
  1. Para :
    E , então .
  2. Para :
    E , então .
Conclusão:
  • A função atinge seu mínimo em com .
  • Não há um máximo finito, pois tende ao infinito conforme aumenta.

Resposta

Mínimo da função: no ponto .
Máximo da função: Não existe máximo finito.

Exercícios relacionados

Use o teste da derivada segunda para classificar os extremos da função em ponto de máximo, de mínimo ou de sela em cada um dos ítens abaixo:
Use o teste da derivada segunda para classificar os extremos da função em ponto de máximo, de mínimo ou de sela em cada um dos ítens abaixo:
Observe a figura a seguir. Seja um triângulo retângulo e a bissetriz do ângulo . Além disso, considere . Dessa forma, o segmento mede (em função de ):
A
a)
b)
c)
d)
e)
Mostre que a função dada por é contínua em . [Sugestão: Considere .]