Encontre o máximo e o mínimo da função
sujeita as restrições dadas:
e
Passo 1
Entendendo o Enunciado
Temos que encontrar o máximo e o mínimo da função
sujeita às seguintes restrições:
Conteúdo da Matéria: Este problema envolve otimização com restrições, utilizando métodos de substituição para reduzir o número de variáveis e encontrar os extremos da função.
O que vamos precisar:
- Resolver sistemas de equações.
- Substituir expressões para simplificar a função.
- Analisar a função resultante para encontrar seus extremos.
Passo 2
Expressando uma Variável em Termos das Outras
Primeiro, vamos resolver a primeira restrição
para encontrar
em função de
:
Passo 3
Substituindo na Segunda Restrição
Agora, substituímos
na segunda restrição
:
Observação: Para que
seja real,
deve ser maior ou igual a 1, ou seja,
.
Passo 4
Substituindo nas Restrições na Função
Substituímos
e
na função
:
Expandindo:
Passo 5
Analisando a Função Reduzida
Agora, temos uma função de uma única variável:
Para encontrar os extremos dessa função, devemos derivá-la em relação a
e igualar a derivada a zero.
Derivando:
Igualando a zero:
Verificação das Restrições: Lembrando que
, o valor
não satisfaz a restrição. Portanto, não podemos considerar esse ponto.
Passo 6
Analisando os Valores nas Extremidades Permitidas
Como a derivada não fornece um ponto válido dentro das restrições, analisamos os valores nos limites possíveis de
:
-
Para
: E, então . -
Para
: E, então .
Conclusão:
- A função
atinge seu mínimo em com . - Não há um máximo finito, pois
tende ao infinito conforme aumenta.
Resposta
Mínimo da função:
no ponto
.
Máximo da função: Não existe máximo finito.