Encontre o máximo e o mínimo da função sujeita as restrições dadas: e
Passo 1
Entendendo o Enunciado
Temos que encontrar o máximo e o mínimo da função sujeita às seguintes restrições:
Conteúdo da Matéria: Este problema envolve otimização com restrições, utilizando métodos de substituição para reduzir o número de variáveis e encontrar os extremos da função.
O que vamos precisar:
Resolver sistemas de equações.
Substituir expressões para simplificar a função.
Analisar a função resultante para encontrar seus extremos.
Passo 2
Expressando uma Variável em Termos das Outras
Primeiro, vamos resolver a primeira restrição para encontrar em função de :
Passo 3
Substituindo na Segunda Restrição
Agora, substituímos na segunda restrição :
Observação: Para que seja real, deve ser maior ou igual a 1, ou seja, .
Passo 4
Substituindo nas Restrições na Função
Substituímos e na função :
Expandindo:
Passo 5
Analisando a Função Reduzida
Agora, temos uma função de uma única variável:
Para encontrar os extremos dessa função, devemos derivá-la em relação a e igualar a derivada a zero.
Derivando:
Igualando a zero:
Verificação das Restrições: Lembrando que , o valor não satisfaz a restrição. Portanto, não podemos considerar esse ponto.
Passo 6
Analisando os Valores nas Extremidades Permitidas
Como a derivada não fornece um ponto válido dentro das restrições, analisamos os valores nos limites possíveis de :
Para :
E , então .
Para :
E , então .
Conclusão:
A função atinge seu mínimo em com .
Não há um máximo finito, pois tende ao infinito conforme aumenta.