Use o teste da derivada segunda para classificar os extremos da função
em ponto de máximo, de mínimo ou de sela em cada um dos ítens abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o teste da derivada segunda para classificar os extremos da função
. Isso significa que vamos descobrir se os pontos onde a derivada da função é zero são máximos, mínimos ou pontos de sela. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e aplicar o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Isso acontece onde as derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero. Vamos calcular essas derivadas:
Agora, vamos igualar cada uma delas a zero:
Passo 3
Vamos resolver o sistema de equações formado pelas equações (1) e (2) para encontrar os valores de
e
.
Primeiro, podemos multiplicar a equação (1) por 5:
E a equação (2) por 2:
Agora, vamos subtrair a equação (3) da equação (4):
Com o valor de
, vamos substituir na equação (1) para encontrar
:
Então, o ponto crítico é
.
Passo 4
Agora que encontramos o ponto crítico, vamos aplicar o teste da derivada segunda para classificar esse ponto. Precisamos calcular as seguintes derivadas segundas:
Com esses valores, calculamos o determinante
da matriz Hessiana:
Passo 5
Interpretando o valor de
:
- Se
e , então o ponto é um mínimo local. - Se
e , então o ponto é um máximo local. - Se
, então o ponto é um ponto de sela.
No nosso caso,
e
. Portanto, o ponto
é um mínimo local.
Resposta
A função
possui um mínimo local no ponto
.