Use o teste da derivada segunda para classificar os extremos da função em ponto de máximo, de mínimo ou de sela em cada um dos ítens abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o teste da derivada segunda para classificar os extremos da função . Isso significa que vamos descobrir se os pontos onde a derivada da função é zero são máximos, mínimos ou pontos de sela. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e aplicar o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Isso acontece onde as derivadas parciais em relação a e são iguais a zero. Vamos calcular essas derivadas:
Agora, vamos igualar cada uma delas a zero:

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações formado pelas equações (1) e (2) para encontrar os valores de e .
Primeiro, podemos multiplicar a equação (1) por 5:
E a equação (2) por 2:
Agora, vamos subtrair a equação (3) da equação (4):
Com o valor de , vamos substituir na equação (1) para encontrar :
Então, o ponto crítico é .

Passo 4

Agora que encontramos o ponto crítico, vamos aplicar o teste da derivada segunda para classificar esse ponto. Precisamos calcular as seguintes derivadas segundas:
Com esses valores, calculamos o determinante da matriz Hessiana:

Passo 5

Interpretando o valor de :
  • Se e , então o ponto é um mínimo local.
  • Se e , então o ponto é um máximo local.
  • Se , então o ponto é um ponto de sela.
No nosso caso, e . Portanto, o ponto é um mínimo local.

Resposta

A função possui um mínimo local no ponto .

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Use o teste da derivada segunda para classificar os extremos da função em ponto de máximo, de mínimo ou de sela em cada um dos ítens abaixo:
Encontre o máximo e o mínimo da função sujeita as restrições dadas:
Encontre o máximo e o mínimo da função sujeita as restrições dadas: e
Observe a figura a seguir. Seja um triângulo retângulo e a bissetriz do ângulo . Além disso, considere . Dessa forma, o segmento mede (em função de ):
A
a)
b)
c)
d)
e)