Use o teste da derivada segunda para classificar os extremos da função
em ponto de máximo, de mínimo ou de sela em cada um dos ítens abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o teste da derivada segunda para classificar os extremos da função
. Isso significa que vamos descobrir se os pontos onde a função tem extremos são máximos, mínimos ou pontos de sela. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e analisar a matriz Hessiana.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero.
Calculando as derivadas parciais:
Agora, igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 3
Agora, vamos usar o teste da derivada segunda para classificar esse ponto crítico. Para isso, precisamos calcular a matriz Hessiana da função, que é composta pelas segundas derivadas parciais.
Calculando as segundas derivadas:
A matriz Hessiana
fica assim:
Agora, calculamos o determinante da matriz Hessiana:
Como o determinante é positivo (
) e a segunda derivada em relação a
é positiva (
), isso indica que o ponto crítico é um mínimo local.
Resposta
A função
tem um mínimo local no ponto
.
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Encontre o máximo e o mínimo da função
sujeita as restrições dadas:
Determine os pontos críticos da função
em cada um dos ítens abaixo:
Use o teste da derivada segunda para classificar os extremos da função
em ponto de máximo, de mínimo ou de sela em cada um dos ítens abaixo:
Encontre o máximo e o mínimo da função
sujeita as restrições dadas:
e