Use o teste da derivada segunda para classificar os extremos da função em ponto de máximo, de mínimo ou de sela em cada um dos ítens abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o teste da derivada segunda para classificar os extremos da função . Isso significa que vamos descobrir se os pontos onde a função tem extremos são máximos, mínimos ou pontos de sela. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e analisar a matriz Hessiana.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais em relação a e são iguais a zero.
Calculando as derivadas parciais:
Agora, igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 3

Agora, vamos usar o teste da derivada segunda para classificar esse ponto crítico. Para isso, precisamos calcular a matriz Hessiana da função, que é composta pelas segundas derivadas parciais.
Calculando as segundas derivadas:
A matriz Hessiana fica assim:
Agora, calculamos o determinante da matriz Hessiana:
Como o determinante é positivo ( ) e a segunda derivada em relação a é positiva ( ), isso indica que o ponto crítico é um mínimo local.

Resposta

A função tem um mínimo local no ponto .

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Encontre o máximo e o mínimo da função sujeita as restrições dadas:
Determine os pontos críticos da função em cada um dos ítens abaixo:
Use o teste da derivada segunda para classificar os extremos da função em ponto de máximo, de mínimo ou de sela em cada um dos ítens abaixo:
Encontre o máximo e o mínimo da função sujeita as restrições dadas: e