Mostre que a função
dada por
é contínua em
. [Sugestão: Considere
.]
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a função
é contínua em
. Isso está relacionado ao estudo de continuidade de funções matemáticas, especificamente no espaço euclidiano
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e usar algumas propriedades de norma e produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função
é contínua em um ponto
se, para todo
, existe um
tal que sempre que
, então
. Queremos mostrar que isso vale para todo
em
.
Passo 3
A função dada é
, que é a norma Euclidiana de
. A norma Euclidiana é definida como
, onde
é o produto escalar de
consigo mesmo.
Passo 4
Vamos usar a sugestão do enunciado: considere
. Isso nos ajuda a trabalhar com a distância ao quadrado, que é mais fácil de manipular matematicamente.
Passo 5
Agora, vamos analisar
. Pela desigualdade triangular, sabemos que
. Isso nos dá uma relação direta entre a diferença nas normas e a distância entre
e
.
Passo 6
Para mostrar continuidade, queremos que
sempre que
. Pela desigualdade que estabelecemos, basta escolher
. Assim, sempre que
, teremos
, garantindo a continuidade.
Resposta
Portanto, a função
é contínua em
.