Mostre que a função dada por é contínua em . [Sugestão: Considere .]
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a função é contínua em . Isso está relacionado ao estudo de continuidade de funções matemáticas, especificamente no espaço euclidiano . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e usar algumas propriedades de norma e produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se, para todo , existe um tal que sempre que , então . Queremos mostrar que isso vale para todo em .
Passo 3
A função dada é , que é a norma Euclidiana de . A norma Euclidiana é definida como , onde é o produto escalar de consigo mesmo.
Passo 4
Vamos usar a sugestão do enunciado: considere . Isso nos ajuda a trabalhar com a distância ao quadrado, que é mais fácil de manipular matematicamente.
Passo 5
Agora, vamos analisar . Pela desigualdade triangular, sabemos que . Isso nos dá uma relação direta entre a diferença nas normas e a distância entre e .
Passo 6
Para mostrar continuidade, queremos que sempre que . Pela desigualdade que estabelecemos, basta escolher . Assim, sempre que , teremos , garantindo a continuidade.