Mostre que a função f dada por f(x) = |x| é contínua em R^n. [Sugestão: Considere |x - a|^2 = (x - a) • (x - a).]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a função é contínua em . Isso está relacionado ao estudo de continuidade de funções matemáticas, especificamente no espaço euclidiano . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e usar algumas propriedades de norma e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se, para todo , existe um tal que sempre que , então . Queremos mostrar que isso vale para todo em .

Passo 3

A função dada é , que é a norma Euclidiana de . A norma Euclidiana é definida como , onde é o produto escalar de consigo mesmo.

Passo 4

Vamos usar a sugestão do enunciado: considere . Isso nos ajuda a trabalhar com a distância ao quadrado, que é mais fácil de manipular matematicamente.

Passo 5

Agora, vamos analisar . Pela desigualdade triangular, sabemos que . Isso nos dá uma relação direta entre a diferença nas normas e a distância entre e .

Passo 6

Para mostrar continuidade, queremos que sempre que . Pela desigualdade que estabelecemos, basta escolher . Assim, sempre que , teremos , garantindo a continuidade.

Resposta

Portanto, a função é contínua em .

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