Mostre que a função dada por é contínua em . [Sugestão: Considere .]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a função é contínua em . Isso está relacionado ao estudo de continuidade de funções matemáticas, especificamente no espaço euclidiano . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e usar algumas propriedades de norma e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se, para todo , existe um tal que sempre que , então . Queremos mostrar que isso vale para todo em .

Passo 3

A função dada é , que é a norma Euclidiana de . A norma Euclidiana é definida como , onde é o produto escalar de consigo mesmo.

Passo 4

Vamos usar a sugestão do enunciado: considere . Isso nos ajuda a trabalhar com a distância ao quadrado, que é mais fácil de manipular matematicamente.

Passo 5

Agora, vamos analisar . Pela desigualdade triangular, sabemos que . Isso nos dá uma relação direta entre a diferença nas normas e a distância entre e .

Passo 6

Para mostrar continuidade, queremos que sempre que . Pela desigualdade que estabelecemos, basta escolher . Assim, sempre que , teremos , garantindo a continuidade.

Resposta

Portanto, a função é contínua em .

Exercícios relacionados

Observe a figura a seguir. Seja um triângulo retângulo e a bissetriz do ângulo . Além disso, considere . Dessa forma, o segmento mede (em função de ):
A
a)
b)
c)
d)
e)
Encontre o máximo e o mínimo da função sujeita as restrições dadas: e
Encontre a Transformada de Laplace de cada uma das funções a seguir:
Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.