Encontre pelo menos os quatro primeiros termos não nulos em uma expansão em série de potências em torno de
da solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais! A gente precisa encontrar os quatro primeiros termos não nulos na expansão em série de potências em torno de
da solução geral da equação diferencial
. Para isso, vamos usar séries de potências e resolver a equação passo a passo.
Passo 2
Primeiro, lembremos que uma série de potências em torno de
tem a forma:
Nossa meta é encontrar os coeficientes
que vão nos dar os primeiros quatro termos não nulos da solução.
Passo 3
Vamos derivar
para obter
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na equação diferencial:
Substituindo:
Passo 5
Vamos simplificar o lado esquerdo da equação:
Agora, igualamos os coeficientes de potências iguais de
dos dois lados da equação. Sabemos que:
Passo 6
Igualando os coeficientes termo a termo:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Vamos resolver as equações que encontramos:
Assumindo que a solução geral inclui a solução homogênea e particular, podemos escolher
como constante arbitrária. Mas para simplificar, vamos assumir
:
Então:
Resposta
Os quatro primeiros termos não nulos da expansão em série de potências da solução são:
Ou seja,