Encontre pelo menos os quatro primeiros termos não nulos em uma expansão em série de potências em torno de x = 0 da solução geral da equação diferencial dada.
y' - x y = sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais! A gente precisa encontrar os quatro primeiros termos não nulos na expansão em série de potências em torno de da solução geral da equação diferencial . Para isso, vamos usar séries de potências e resolver a equação passo a passo.

Passo 2

Primeiro, lembremos que uma série de potências em torno de tem a forma:
Nossa meta é encontrar os coeficientes que vão nos dar os primeiros quatro termos não nulos da solução.

Passo 3

Vamos derivar para obter :

Passo 4

Agora, substituímos e na equação diferencial:
Substituindo:

Passo 5

Vamos simplificar o lado esquerdo da equação:
Agora, igualamos os coeficientes de potências iguais de dos dois lados da equação. Sabemos que:

Passo 6

Igualando os coeficientes termo a termo:
Para :
Para :
Para :
Para :

Passo 7

Vamos resolver as equações que encontramos:
Assumindo que a solução geral inclui a solução homogênea e particular, podemos escolher como constante arbitrária. Mas para simplificar, vamos assumir :
Então:

Resposta

Os quatro primeiros termos não nulos da expansão em série de potências da solução são:
Ou seja,

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