Encontre pelo menos os quatro primeiros termos não nulos em uma expansão em série de potências em torno de x = 0 da solução geral da equação diferencial dada.
y'' - 2x y' + 3y = x^2

Passo 1

Vamos começar resumindo o que o exercício pede: queremos encontrar os quatro primeiros termos não nulos na expansão em série de potências em torno de da solução geral da equação diferencial dada:
Para resolver isso, vamos utilizar a teoria de séries de potências, que nos permite expressar a solução como uma série infinita em potências de . Precisaremos determinar os coeficientes dessa série passo a passo.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de :
Aqui, são os coeficientes que precisamos encontrar. Nossa meta é determinar os primeiros quatro coeficientes não nulos .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de necessárias para substituir na equação diferencial:
A primeira derivada de é:
A segunda derivada de é:

Passo 4

Substituímos , e na equação diferencial:
Substituindo as séries:

Passo 5

Vamos ajustar os índices das somas para que todas estejam em termos de :
Para a segunda derivada:
Para o termo com :
Mas para alinhar os índices, vamos reescrever:
E o termo com :

Passo 6

Agora, juntamos todas as somas ajustadas:
Agora, podemos combinar os termos semelhantes:

Passo 7

A equação acima deve ser válida para todos os , o que significa que os coeficientes de cada potência de devem ser iguais. Então, temos:
Para :
E para :
Simplificando a equação geral:

Passo 8

Agora, podemos usar essa recorrência para encontrar os coeficientes a partir de e .
Vamos supor valores iniciais para e . Normalmente, para obter a solução geral, essas constantes são deixadas livres, mas para determinar uma solução específica, podemos atribuir valores.
No entanto, como buscamos apenas os quatro primeiros termos não nulos, vamos prosseguir simbolicamente.

Passo 9

Vamos calcular os coeficientes até :
Para :
Para :

Passo 10

Até aqui, temos:
Substituindo os valores encontrados:

Resposta

Os quatro primeiros termos não nulos na expansão em série de potências da solução geral são:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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