Obtenha a solução geral de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a solução geral da equação diferencial
. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes variáveis. Para resolver, vamos usar o método de séries de potências, que é útil quando não conseguimos resolver esses tipos de equações com métodos mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser expressa como uma série de potências:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Passo 4
Substituímos
e
na equação original:
Passo 5
Vamos ajustar os índices das somas para que todas fiquem com
, onde
na primeira soma:
Passo 6
Para que a equação seja válida para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Ajustamos a segunda soma para
:
Passo 7
Igualando os coeficientes de
a zero, obtemos a relação de recorrência:
Passo 8
Vamos encontrar os primeiros coeficientes. Assumimos que
e
são constantes arbitrárias (porque a solução geral de uma EDO de segunda ordem tem duas constantes de integração):
E assim por diante.
Passo 9
Observando o padrão, vemos que os coeficientes de ordem par dependem de
e os ímpares de
. Assim, podemos escrever a solução geral como:
Isso representa a combinação das séries de potências que resolvem a equação diferencial dada.
Resposta
A solução geral da equação
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.