Obtenha a solução geral de y'' - 2xy

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a solução geral da equação diferencial . Isso faz parte do estudo de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes variáveis. Para resolver, vamos usar o método de séries de potências, que é útil quando não conseguimos resolver esses tipos de equações com métodos mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser expressa como uma série de potências:
Aqui, são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de :

Passo 4

Substituímos e na equação original:

Passo 5

Vamos ajustar os índices das somas para que todas fiquem com , onde na primeira soma:

Passo 6

Para que a equação seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Ajustamos a segunda soma para :

Passo 7

Igualando os coeficientes de a zero, obtemos a relação de recorrência:

Passo 8

Vamos encontrar os primeiros coeficientes. Assumimos que e são constantes arbitrárias (porque a solução geral de uma EDO de segunda ordem tem duas constantes de integração):
ãã
E assim por diante.

Passo 9

Observando o padrão, vemos que os coeficientes de ordem par dependem de e os ímpares de . Assim, podemos escrever a solução geral como:
Isso representa a combinação das séries de potências que resolvem a equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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