Encontre f'(x) e f''(x)
(d) g(x) = x / (x^2 - 1).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a primeira e a segunda derivada da função . Para isso, vamos usar o conteúdo de diferenciação, especificamente a regra do quociente, que é essencial para derivar funções que são divisões de duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada . A regra do quociente diz que se temos uma função , então sua derivada é:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e :

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
Então, a primeira derivada fica:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a segunda derivada . Precisamos derivar . Novamente, usaremos a regra do quociente para derivar essa expressão.

Passo 7

Identificamos agora:
Calculamos suas derivadas:

Passo 8

Aplicamos novamente a regra do quociente:

Passo 9

Vamos simplificar o numerador passo a passo:
Fatorando :
Portanto, a segunda derivada fica:

Resposta

As derivadas da função são:
e

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