Encontre pelo menos os quatro primeiros termos não nulos em uma expansão em série de potências em torno de
da solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar pelo menos os quatro primeiros termos não nulos na expansão em série de potências em torno de
da solução geral da equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis. Para resolver isso, vamos usar uma série de potências para representar a solução
. Precisaremos expandir o lado direito
também em uma série de potências para igualar os termos.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
:
Passo 4
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial:
Vamos distribuir
na primeira soma:
Passo 5
Agora, vamos ajustar os índices das somas para termos todas em
:
- Para
, fazemos a substituição :
- Mantemos a segunda soma:
-
Para
, já está em termos de . -
A soma de
já está em termos de .
Passo 6
Agora, reescrevemos a equação com todos os termos em
:
Passo 7
Agrupamos todos os termos com
:
Para
:
E para
:
Mas observando a equação geral, percebemos que a recorrência é:
Passo 8
Agora, vamos encontrar os coeficientes
usando a relação de recorrência. Precisamos de condições iniciais. Assumimos
e
como constantes arbitrárias (porque é uma equação de segunda ordem).
Vamos calcular
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 9
Agora, juntamos os termos que encontramos:
Substituindo os valores de
:
Resposta
Os quatro primeiros termos não nulos na expansão em série de potências da solução geral são: