Encontre pelo menos os quatro primeiros termos não nulos em uma expansão em série de potências em torno de x = 0 da solução geral da equação diferencial dada.
(1+x^2) y'' - x y' + y = e^(-x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar pelo menos os quatro primeiros termos não nulos na expansão em série de potências em torno de da solução geral da equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis. Para resolver isso, vamos usar uma série de potências para representar a solução . Precisaremos expandir o lado direito também em uma série de potências para igualar os termos.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de :
Aqui, são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de :

Passo 4

Agora, substituímos , e na equação diferencial:
Vamos distribuir na primeira soma:

Passo 5

Agora, vamos ajustar os índices das somas para termos todas em :
  1. Para , fazemos a substituição :
  1. Mantemos a segunda soma:
  1. Para , já está em termos de .
  2. A soma de já está em termos de .

Passo 6

Agora, reescrevemos a equação com todos os termos em :

Passo 7

Agrupamos todos os termos com :
Para :
E para :
Mas observando a equação geral, percebemos que a recorrência é:

Passo 8

Agora, vamos encontrar os coeficientes usando a relação de recorrência. Precisamos de condições iniciais. Assumimos e como constantes arbitrárias (porque é uma equação de segunda ordem).
Vamos calcular :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 9

Agora, juntamos os termos que encontramos:
Substituindo os valores de :

Resposta

Os quatro primeiros termos não nulos na expansão em série de potências da solução geral são:

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