Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos que calcular a integral definida de uma função exponencial elevada ao quadrado ao longo de todo o eixo real. Especificamente, queremos encontrar:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente o de integrais de funções exponenciais. Precisaremos simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Vamos começar simplificando a expressão dentro da integral. A função pode ser expandida da seguinte forma:
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos integrar a função em relação a de a . Podemos separar a constante 4 da integral:
A função é uma função exponencial que pode ser integrada facilmente. Vamos calcular a integral em duas partes: de a 0 e de 0 a .
  1. Integral de a 0:
A integral de é , então avaliando de a 0:
  1. Integral de 0 a :
Somando as duas partes:

Resposta

Multiplicando pela constante 4, o valor final da integral é:
Portanto, a integral é igual a 8.

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