Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos que calcular a integral definida de uma função exponencial elevada ao quadrado ao longo de todo o eixo real. Especificamente, queremos encontrar:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente o de integrais de funções exponenciais. Precisaremos simplificar a expressão antes de integrar.
Passo 2
Vamos começar simplificando a expressão dentro da integral. A função
pode ser expandida da seguinte forma:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos integrar a função
em relação a
de
a
. Podemos separar a constante 4 da integral:
A função
é uma função exponencial que pode ser integrada facilmente. Vamos calcular a integral em duas partes: de
a 0 e de 0 a
.
- Integral de
a 0:
A integral de
é
, então avaliando de
a 0:
- Integral de 0 a
:
Somando as duas partes:
Resposta
Multiplicando pela constante 4, o valor final da integral é:
Portanto, a integral
é igual a 8.