Encontre o momento de inércia de um triângulo retângulo (sólido) com relação a um eixo perpendicular ao plano que contém o triângulo e que passe pelo vértice do angulo reto.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre momento de inércia. Temos um triângulo retângulo sólido e queremos encontrar o momento de inércia em relação a um eixo perpendicular ao plano do triângulo que passa pelo vértice do ângulo reto. Para isso, vamos usar conceitos de física sobre momento de inércia e cálculo de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos definir um sistema de coordenadas para facilitar a resolução. Colocamos o vértice do ângulo reto na origem (0,0) do plano cartesiano. Suponha que os catetos do triângulo tenham comprimentos e , alinhados respectivamente nos eixos e .

Passo 3

O momento de inércia I = integral (x^2 + y^2) , sigma , dA em relação ao eixo perpendicular ( ) é dado pela integral da soma dos quadrados das coordenadas e multiplicada pela densidade e a área diferencial :
Como a densidade é uniforme, podemos considerar constante.

Passo 4

Vamos expressar a área do triângulo em termos das variáveis e . Para cada valor de entre 0 e , o valor de varia de 0 até a reta que forma a hipotenusa do triângulo, que é .

Passo 5

Substituindo os limites de integração e expressando I = sigma integral0^a integral0^bax (x^2 + y^2) , dy , dx como integral0^bax (x^2 + y^2) , dy = x^2 y + y^33 gr|0^bax = x^2 (bax) + (bax)^33 , a integral fica:
= bax^3 + b^33a^3x^3 = (ba + b^33a^3)x^3
Primeiro, integramos em relação a I = sigma (ba + b^33a^3) integral0^a x^3 , dx = sigma (ba + b^33a^3) cdot a^44 :
I = sigma ( b a^34a + b^3 a12a^3 ) = sigma ( b a^24 + b^312a^2 )
Simplificando:
Agora, integramos em relação a :
Simplificando:

Resposta

O momento de inércia do triângulo retângulo sólido em relação ao eixo perpendicular que passa pelo vértice do ângulo reto é:
I = sigma a b (a^2 + b^2)36

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