Encontre o momento de inércia de um triângulo retângulo (sólido) com relação a um eixo perpendicular ao plano que contém o triângulo e que passe pelo vértice do angulo reto.
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre momento de inércia. Temos um triângulo retângulo sólido e queremos encontrar o momento de inércia em relação a um eixo perpendicular ao plano do triângulo que passa pelo vértice do ângulo reto. Para isso, vamos usar conceitos de física sobre momento de inércia e cálculo de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos definir um sistema de coordenadas para facilitar a resolução. Colocamos o vértice do ângulo reto na origem (0,0) do plano cartesiano. Suponha que os catetos do triângulo tenham comprimentos e , alinhados respectivamente nos eixos e .
Passo 3
O momento de inércia em relação ao eixo perpendicular () é dado pela integral da soma dos quadrados das coordenadas e multiplicada pela densidade e a área diferencial :
Como a densidade é uniforme, podemos considerar constante.
Passo 4
Vamos expressar a área do triângulo em termos das variáveis e . Para cada valor de entre 0 e , o valor de varia de 0 até a reta que forma a hipotenusa do triângulo, que é .
Passo 5
Substituindo os limites de integração e expressando como , a integral fica:
Primeiro, integramos em relação a :
Simplificando:
Agora, integramos em relação a :
Simplificando:
Resposta
O momento de inércia do triângulo retângulo sólido em relação ao eixo perpendicular que passa pelo vértice do ângulo reto é: