Encontre o momento de inércia de um triângulo retângulo (sólido) com relação a um eixo perpendicular ao plano que contém o triângulo e que passe pelo vértice do angulo reto.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre momento de inércia. Temos um triângulo retângulo sólido e queremos encontrar o momento de inércia em relação a um eixo perpendicular ao plano do triângulo que passa pelo vértice do ângulo reto. Para isso, vamos usar conceitos de física sobre momento de inércia e cálculo de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos definir um sistema de coordenadas para facilitar a resolução. Colocamos o vértice do ângulo reto na origem (0,0) do plano cartesiano. Suponha que os catetos do triângulo tenham comprimentos e , alinhados respectivamente nos eixos e .

Passo 3

O momento de inércia em relação ao eixo perpendicular ( ) é dado pela integral da soma dos quadrados das coordenadas e multiplicada pela densidade e a área diferencial :
Como a densidade é uniforme, podemos considerar constante.

Passo 4

Vamos expressar a área do triângulo em termos das variáveis e . Para cada valor de entre 0 e , o valor de varia de 0 até a reta que forma a hipotenusa do triângulo, que é .

Passo 5

Substituindo os limites de integração e expressando como , a integral fica:
Primeiro, integramos em relação a :
Simplificando:
Agora, integramos em relação a :
Simplificando:

Resposta

O momento de inércia do triângulo retângulo sólido em relação ao eixo perpendicular que passa pelo vértice do ângulo reto é:

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