Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(38) integral d x9 x^2+4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente quer calcular a integral de 19x^2 + 4 em relação a x. Vamos usar o método da substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas. Para isso, precisamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir por uma nova variável.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o denominador para deixar mais claro como aplicar a substituição. Observe que 9x^2 + 4 pode ser escrito como (3x)^2 + 2^2. Então, a integral fica:
integral dx(3x)^2 + 2^2

Passo 3

Agora, vamos fazer a substituição. Vamos chamar u = 3x. Assim, a derivada de u em relação a x é du/dx = 3, ou seja, dx = du3. Substituindo na integral:
integral du3u^2 + 2^2 = 13 integral duu^2 + 4

Passo 4

A integral integral duu^2 + a^2 é uma forma padrão que sabemos resolver. A fórmula é:
integral duu^2 + a^2 = 1a arctan(ua) + C
No nosso caso, a = 2. Aplicando a fórmula:
13 cdot 12 arctan(u2) + C = 16 arctan(u2) + C

Passo 5

Agora, vamos voltar à variável original x. Lembrando que u = 3x, substituímos de volta:
16 arctan(3x2) + C

Resposta

A integral de 19x^2 + 4 em relação a x é:
16 arctan(3x2) + C

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