Uma partícula de massa m é colocada em um potencial esférico finito:
V(r)= 0, & se r <= a V0, & se r>a
Estime V0 para as forças nucleares, sabendo que o alcance a approx 2 times 10^-13 cm e que V0 é pouco mais que suficiente para ligar o dêuteron.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos uma partícula de massa $ m $ que está sujeita a um potencial esférico finito. Esse potencial, $ V® $, é zero quando a distância $ r $ é menor ou igual a $ a $ e é igual a $ V_0 $ quando $ r $ é maior que $ a $. A tarefa é estimar o valor de $ V_0 $ para as forças nucleares, sabendo que o alcance $ a $ é aproximadamente $ 2 \times 10^{-13} $ cm e que $ V_0 $ é pouco mais que suficiente para ligar o dêuteron (que é um núcleo de deutério, ou seja, um próton e um nêutron ligados).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para ligar uma partícula em um potencial, a energia do estado ligado deve ser menor que o potencial em $ r > a $. Ou seja, a energia do dêuteron deve ser menor que $ V_0 $. No caso do dêuteron, a energia de ligação é cerca de 2,2 MeV.

Passo 3

Agora, vamos usar a ideia de que para que haja um estado ligado, a profundidade do potencial $ V_0 $ deve ser suficiente para compensar a energia cinética da partícula. A energia cinética mínima que a partícula possui é dada pela relação de Heisenberg: $ E \approx \frac{\hbar^2}{m a^2} $, onde $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida, $ m $ é a massa da partícula, e $ a $ é o alcance do potencial.

Passo 4

Queremos que $ V_0 $ seja pouco mais que essa energia cinética mínima, ou seja:
V0
Isso garante que a partícula tenha energia suficiente para ficar ligada no potencial.

Passo 5

Vamos agora substituir os valores. Primeiro, precisamos converter $ a $ para metros:
a
A massa $ m $ do nêutron ou próton (já que o dêuteron é composto por um de cada) é aproximadamente:
a = 2 times 10^-13 , cm = 2 times 10^-15 , m
A constante $ \hbar $ é:
m

Passo 6

Substituindo na fórmula:
V0 >rsim (1.055 times 10^-34)^21.675 times 10^-27 times (2 times 10^-15)^2
Vamos calcular o denominador e o numerador separadamente:
Numerador:
(1.055 times 10^-34)^2 approx 1.113 times 10^-68 , J^2s^2
Denominador:
1.675 times 10^-27 times (4 times 10^-30) = 6.7 times 10^-57 , kg·m^2

Passo 7

Agora, dividindo numerador pelo denominador:
V0 >rsim 1.113 times 10^-686.7 times 10^-57 approx 1.66 times 10^-12 , J
Convertendo para electronvolts (1 eV = $ 1.602 \times 10^{-19} $ J):
1.602 times 10^-19

Resposta

Portanto, o valor estimado de $ V_0 $ para as forças nucleares é aproximadamente 10 MeV.

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