Uma partícula de massa
é colocada em um potencial esférico finito:
Estime
para as forças nucleares, sabendo que o alcance
e que
é pouco mais que suficiente para ligar o dêuteron.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos uma partícula de massa $ m $ que está sujeita a um potencial esférico finito. Esse potencial, $ V® $, é zero quando a distância $ r $ é menor ou igual a $ a $ e é igual a $ V_0 $ quando $ r $ é maior que $ a $. A tarefa é estimar o valor de $ V_0 $ para as forças nucleares, sabendo que o alcance $ a $ é aproximadamente $ 2 \times 10^{-13} $ cm e que $ V_0 $ é pouco mais que suficiente para ligar o dêuteron (que é um núcleo de deutério, ou seja, um próton e um nêutron ligados).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para ligar uma partícula em um potencial, a energia do estado ligado deve ser menor que o potencial em $ r > a $. Ou seja, a energia do dêuteron deve ser menor que $ V_0 $. No caso do dêuteron, a energia de ligação é cerca de 2,2 MeV.
Passo 3
Agora, vamos usar a ideia de que para que haja um estado ligado, a profundidade do potencial $ V_0 $ deve ser suficiente para compensar a energia cinética da partícula. A energia cinética mínima que a partícula possui é dada pela relação de Heisenberg: $ E \approx \frac{\hbar^2}{m a^2} $, onde $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida, $ m $ é a massa da partícula, e $ a $ é o alcance do potencial.
Passo 4
Queremos que $ V_0 $ seja pouco mais que essa energia cinética mínima, ou seja:
Isso garante que a partícula tenha energia suficiente para ficar ligada no potencial.
Passo 5
Vamos agora substituir os valores. Primeiro, precisamos converter $ a $ para metros:
A massa $ m $ do nêutron ou próton (já que o dêuteron é composto por um de cada) é aproximadamente:
A constante $ \hbar $ é:
Passo 6
Substituindo na fórmula:
Vamos calcular o denominador e o numerador separadamente:
Numerador:
Denominador:
Passo 7
Agora, dividindo numerador pelo denominador:
Convertendo para electronvolts (1 eV = $ 1.602 \times 10^{-19} $ J):
Resposta
Portanto, o valor estimado de $ V_0 $ para as forças nucleares é aproximadamente 10 MeV.