Encontre números
e
tais que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar os números
e
de modo que o limite
seja igual a
. Vamos precisar usar conceitos de limites e derivadas, especialmente a expansão em série de Taylor para funções próximas de um ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com a expressão dentro da raiz quando
se aproxima de 0. A expressão
deve se aproximar de um valor finito. Para que a diferença
não fique estranha, vamos igualar
a 2. Assim, temos:
Isso garante que, quando
, a expressão dentro da raiz seja
, mantendo a expressão do limite bem definida.
Passo 3
Agora que sabemos que
, substituímos de volta na expressão original:
Para resolver esse limite, vamos expandir
usando a série de Taylor em torno de
. A expansão fica:
Subtraindo 2 e dividindo por
, temos:
Então, o limite se torna:
Passo 4
Agora é só resolver para
:
Resposta
Os valores são
e
.
Exercícios relacionados
Usando comparações adequadas, determine o limite
Calcule, se existirem, os limites
Suponha que
para todo
. Existe o limite
Se
, encontre os limites
-
-
.