Encontre números e tais que

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar os números e de modo que o limite
seja igual a . Vamos precisar usar conceitos de limites e derivadas, especialmente a expansão em série de Taylor para funções próximas de um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com a expressão dentro da raiz quando se aproxima de 0. A expressão deve se aproximar de um valor finito. Para que a diferença não fique estranha, vamos igualar a 2. Assim, temos:
Isso garante que, quando , a expressão dentro da raiz seja , mantendo a expressão do limite bem definida.

Passo 3

Agora que sabemos que , substituímos de volta na expressão original:
Para resolver esse limite, vamos expandir usando a série de Taylor em torno de . A expansão fica:
Subtraindo 2 e dividindo por , temos:
Então, o limite se torna:

Passo 4

Agora é só resolver para :

Resposta

Os valores são e .

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Usando comparações adequadas, determine o limite
Calcule, se existirem, os limites
Suponha que para todo . Existe o limite
Se , encontre os limites
  • .