Encontre números a e b tais que
lim x 0 raiza x+b-2x=pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar os números lim x 0 raiza x + b - 2x = pi e de modo que o limite
seja igual a . Vamos precisar usar conceitos de limites e derivadas, especialmente a expansão em série de Taylor para funções próximas de um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com a expressão dentro da raiz quando raizb = 2 implies b = 4 se aproxima de 0. A expressão deve se aproximar de um valor finito. Para que a diferença não fique estranha, vamos igualar a 2. Assim, temos:
Isso garante que, quando , a expressão dentro da raiz seja , mantendo a expressão do limite bem definida.

Passo 3

Agora que sabemos que lim x 0 raiza x + 4 - 2x = pi , substituímos de volta na expressão original:
raiza x + 4 approx raiz4 + a2 raiz4 x = 2 + a4 x
Para resolver esse limite, vamos expandir raiza x + 4 - 2x approx 2 + a4 x - 2x = a4 usando a série de Taylor em torno de a4 = pi . A expansão fica:
Subtraindo 2 e dividindo por , temos:
Então, o limite se torna:

Passo 4

Agora é só resolver para a = 4 pi :

Resposta

Os valores são e .

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