Se , encontre os limites
  • .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente sabe que o limite de quando se aproxima de 0 é igual a 5. Isso está relacionado ao conteúdo de limites e comportamento de funções próximas a um ponto. Para resolver, vamos precisar entender como a função se comporta perto de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que significa . Isso quer dizer que, conforme se aproxima de 0, a razão entre e tende a 5. Podemos rearranjar essa expressão para encontrar uma relação direta para :
Isso nos dá uma ideia de como se comporta perto de 0.

Passo 3

Agora, vamos encontrar . Sabemos que , então podemos substituir:
Sabemos que tende a 0 quando tende a 0, então:

Passo 4

Agora, vamos para o segundo limite: . Mais uma vez, usando , substituímos na expressão:
Então, o limite fica:
Sabemos que tende a 0, então:

Resposta

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Suponha que para todo . Existe o limite
Encontre números e tais que
Verifique geometricamente no círculo trigonométrico as desigualdades, para :
Determine então o limite
Para quaisquer , mostre que