Suponha que
para todo
. Existe o limite
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que para todo
, a função
está entre
e
. Ou seja, temos:
O conteúdo de hoje envolve limites e, mais especificamente, o Teorema do Aperto (ou Teorema do Sandwich). Para resolver isso, vamos precisar calcular os limites das funções que estão “apertando”
quando
se aproxima de 2.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 2:
Isso significa que conforme
chega perto de 2,
está chegando perto de 4.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 2:
Então,
também está chegando perto de 4 quando
se aproxima de 2.
Passo 4
Agora, aplicamos o Teorema do Aperto. Como
está sempre entre
e
, e ambos os limites dessas funções são iguais a 4 quando
se aproxima de 2, então o limite de
também deve ser 4.
Resposta
O limite
existe e é igual a 4.
Exercícios relacionados
Encontre números
e
tais que
Usando comparações adequadas, determine o limite
Se
, encontre os limites
-
-
.
Verifique geometricamente no círculo trigonométrico as desigualdades, para
:
Determine então o limite