Suponha que 2 x <= g(x) <= x^3-x^2 para todo x. Existe o limite
lim x 2 g(x) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que para todo 2x <= g(x) <= x^3 - x^2 , a função está entre e . Ou seja, temos:
O conteúdo de hoje envolve limites e, mais especificamente, o Teorema do Aperto (ou Teorema do Sandwich). Para resolver isso, vamos precisar calcular os limites das funções que estão “apertando” quando se aproxima de 2.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de limx to 2 2x = 2 times 2 = 4 quando se aproxima de 2:
Isso significa que conforme chega perto de 2, está chegando perto de 4.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de limx to 2 (x^3 - x^2) = 2^3 - 2^2 = 8 - 4 = 4 quando se aproxima de 2:
Então, também está chegando perto de 4 quando se aproxima de 2.

Passo 4

Agora, aplicamos o Teorema do Aperto. Como está sempre entre e , e ambos os limites dessas funções são iguais a 4 quando se aproxima de 2, então o limite de também deve ser 4.

Resposta

O limite existe e é igual a 4.

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