Usando comparações adequadas, determine o limite
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Aqui estamos trabalhando com limites no infinito e usando comparações para chegar na resposta. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função cosseno se comporta e como dividir isso por uma função que cresce sem limites, como
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o cosseno de qualquer número
está sempre entre -1 e 1. Ou seja:
Isso é importante porque vai nos ajudar a limitar o valor da fração
.
Passo 3
Agora, vamos dividir todos os membros da desigualdade por
positivo (já que estamos olhando para
indo para o infinito,
é grande e positivo):
Isso mostra que
está “espremido” entre
e
.
Passo 4
Sabemos que quando
tende ao infinito,
tende a 0. Então:
Portanto, tanto o limite inferior quanto o superior da nossa fração
vão para 0.
Passo 5
Pela Regra do Aperta (ou Teorema do Sanduíche), se uma função está entre duas funções que têm o mesmo limite, então essa função também tende a esse limite. Como vimos que
e
tendem a 0, a nossa fração
também tende a 0.
Resposta
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Calcule, se existirem, os limites
Questão 2 (Escolha uma e apresente a resolução)
31-32 Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto especificado.
32. ,
31-32 Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto especificado.
32.
Encontre números
e
tais que
Suponha que
para todo
. Existe o limite