Usando comparações adequadas, determine o limite

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui estamos trabalhando com limites no infinito e usando comparações para chegar na resposta. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função cosseno se comporta e como dividir isso por uma função que cresce sem limites, como .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o cosseno de qualquer número está sempre entre -1 e 1. Ou seja:
Isso é importante porque vai nos ajudar a limitar o valor da fração .

Passo 3

Agora, vamos dividir todos os membros da desigualdade por positivo (já que estamos olhando para indo para o infinito, é grande e positivo):
Isso mostra que está “espremido” entre e .

Passo 4

Sabemos que quando tende ao infinito, tende a 0. Então:
Portanto, tanto o limite inferior quanto o superior da nossa fração vão para 0.

Passo 5

Pela Regra do Aperta (ou Teorema do Sanduíche), se uma função está entre duas funções que têm o mesmo limite, então essa função também tende a esse limite. Como vimos que e tendem a 0, a nossa fração também tende a 0.

Resposta

Exercícios relacionados

Calcule, se existirem, os limites
Questão 2 (Escolha uma e apresente a resolução)
31-32 Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto especificado.
32. ,
Encontre números e tais que
Suponha que para todo . Existe o limite