Encontre números reais
e
de modo que o operador linear
,
tenha a reta
como núcleo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar números reais
e
de modo que o operador linear
, definido por
, tenha a reta
como núcleo. Isso significa que queremos que, para qualquer ponto na reta
, o operador
transforme esse ponto no vetor nulo. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de um operador linear. O núcleo (ou kernel) de
é o conjunto de todos os vetores
tais que
. No nosso caso, queremos que todos os pontos da reta
estejam nesse núcleo.
Passo 3
Então, para qualquer ponto
na reta
, temos
. Vamos substituir isso na expressão de
:
Simplificando:
Passo 4
Queremos que
para qualquer
. Isso significa que:
Como isso deve valer para qualquer
, os coeficientes devem ser iguais a zero:
Passo 5
Agora, vamos resolver essas equações para encontrar
e
:
Isso nos mostra que
é três vezes
com sinal invertido, e o mesmo vale para
e
.
Passo 6
Podemos escolher valores específicos para
e
para simplificar. Vamos optar por
e
. Assim:
Resposta
Os números que satisfazem a condição são
,
,
e
. Então, o operador linear fica:
Exercícios relacionados
Efetuar
Seja
uma transformação linear tal que
, $T(1,1,0)=(5,2,7),
:
é injetiva? Justifique.
Ex. 1. Simplifique as expressões:
(b) ;
(b)
Mostre que não pode existir uma transfomação linear
.