Encontre números reais e de modo que o operador linear , tenha a reta como núcleo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar números reais e de modo que o operador linear , definido por , tenha a reta como núcleo. Isso significa que queremos que, para qualquer ponto na reta , o operador transforme esse ponto no vetor nulo. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de um operador linear. O núcleo (ou kernel) de é o conjunto de todos os vetores tais que . No nosso caso, queremos que todos os pontos da reta estejam nesse núcleo.

Passo 3

Então, para qualquer ponto na reta , temos . Vamos substituir isso na expressão de :
Simplificando:

Passo 4

Queremos que para qualquer . Isso significa que:
Como isso deve valer para qualquer , os coeficientes devem ser iguais a zero:

Passo 5

Agora, vamos resolver essas equações para encontrar e :
Isso nos mostra que é três vezes com sinal invertido, e o mesmo vale para e .

Passo 6

Podemos escolher valores específicos para e para simplificar. Vamos optar por e . Assim:

Resposta

Os números que satisfazem a condição são , , e . Então, o operador linear fica:

Exercícios relacionados

Efetuar
Seja uma transformação linear tal que , $T(1,1,0)=(5,2,7), : é injetiva? Justifique.
Ex. 1. Simplifique as expressões:
(b) ;
Mostre que não pode existir uma transfomação linear .