Encontre números reais a, b, c e d de modo que o operador linear T: R^2 R^2, T(x, y)=(a x+b y, c x+d y) tenha a reta y=3 x como núcleo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar números reais e de modo que o operador linear , definido por , tenha a reta como núcleo. Isso significa que queremos que, para qualquer ponto na reta , o operador transforme esse ponto no vetor nulo. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de um operador linear. O núcleo (ou kernel) de é o conjunto de todos os vetores tais que . No nosso caso, queremos que todos os pontos da reta estejam nesse núcleo.

Passo 3

Então, para qualquer ponto T(x, y) = T(x, 3x) = (a x + b cdot 3x, c x + d cdot 3x) na reta T(x, 3x) = ( (a + 3b) x, (c + 3d) x ) , temos . Vamos substituir isso na expressão de :
Simplificando:

Passo 4

Queremos que (a + 3b) x = 0 e (c + 3d) x = 0 para qualquer a + 3b = 0 e c + 3d = 0 . Isso significa que:
Como isso deve valer para qualquer , os coeficientes devem ser iguais a zero:

Passo 5

Agora, vamos resolver essas equações para encontrar a = -3b e c = -3d e :
Isso nos mostra que é três vezes com sinal invertido, e o mesmo vale para e .

Passo 6

Podemos escolher valores específicos para a = -3 cdot 1 = -3 e c = -3 cdot 1 = -3 e para simplificar. Vamos optar por e . Assim:

Resposta

Os números que satisfazem a condição são T(x, y) = (-3x + y, -3x + y) , , e . Então, o operador linear fica:

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