Seja uma transformação linear tal que , $T(1,1,0)=(5,2,7), : é injetiva? Justifique.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear que transforma vetores em . Precisamos verificar se é injetiva, ou seja, se vetores diferentes no domínio são sempre mapeados para vetores diferentes no contradomínio. Para fazer isso, vamos usar as informações dadas sobre como age em alguns vetores específicos e depois analisar a transformação.

Passo 2

Uma transformação linear é injetiva se e somente se o núcleo (ou kernel) da transformação contém apenas o vetor zero. O núcleo é o conjunto de todos os vetores tal que . Então, para verificar se é injetiva, vamos descobrir se a única solução para é .

Passo 3

Vamos representar a transformação por uma matriz . Sabemos que:
Podemos usar essas informações para montar a matriz . As colunas de correspondem às imagens dos vetores da base canônica. Vamos escrever as equações:

Passo 4

Subtraindo a primeira equação da segunda, temos:
Isso nos dá a segunda coluna da matriz :

Passo 5

Agora, subtraindo a segunda equação da terceira, temos:
Isso nos dá a terceira coluna da matriz :

Passo 6

Com as três colunas encontradas, a matriz fica assim:

Passo 7

Para determinar se é injetiva, vamos calcular o determinante de . Se o determinante for diferente de zero, a transformação é injetiva.
Calculando o determinante:

Resposta

Como o determinante de é (diferente de zero), a transformação é injetiva.

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Encontrar as equações (vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida) da reta t que passa pelo ponto e tem como vetor-direção .
Ex. 1. Simplifique as expressões:
(a) ;
Efetuar
Encontre números reais e de modo que o operador linear , tenha a reta como núcleo.