Seja uma transformação linear tal que , $T(1,1,0)=(5,2,7), : é injetiva? Justifique.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear que transforma vetores em . Precisamos verificar se é injetiva, ou seja, se vetores diferentes no domínio são sempre mapeados para vetores diferentes no contradomínio. Para fazer isso, vamos usar as informações dadas sobre como age em alguns vetores específicos e depois analisar a transformação.
Passo 2
Uma transformação linear é injetiva se e somente se o núcleo (ou kernel) da transformação contém apenas o vetor zero. O núcleo é o conjunto de todos os vetores tal que . Então, para verificar se é injetiva, vamos descobrir se a única solução para é .
Passo 3
Vamos representar a transformação por uma matriz . Sabemos que:
Podemos usar essas informações para montar a matriz . As colunas de correspondem às imagens dos vetores da base canônica. Vamos escrever as equações:
Passo 4
Subtraindo a primeira equação da segunda, temos:
Isso nos dá a segunda coluna da matriz :
Passo 5
Agora, subtraindo a segunda equação da terceira, temos:
Isso nos dá a terceira coluna da matriz :
Passo 6
Com as três colunas encontradas, a matriz fica assim:
Passo 7
Para determinar se é injetiva, vamos calcular o determinante de . Se o determinante for diferente de zero, a transformação é injetiva.
Calculando o determinante:
Resposta
Como o determinante de é (diferente de zero), a transformação é injetiva.