Seja T: R^3 R^3 uma transformação linear tal que T(1,0,0)=(2,3,1), $T(1,1,0)=(5,2,7), T(1,1,0)=(5,2,7), : : é injetiva? Justifique.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear que transforma vetores em . Precisamos verificar se é injetiva, ou seja, se vetores diferentes no domínio são sempre mapeados para vetores diferentes no contradomínio. Para fazer isso, vamos usar as informações dadas sobre como age em alguns vetores específicos e depois analisar a transformação.

Passo 2

Uma transformação linear é injetiva se e somente se o núcleo (ou kernel) da transformação contém apenas o vetor zero. O núcleo é o conjunto de todos os vetores tal que . Então, para verificar se é injetiva, vamos descobrir se a única solução para é .

Passo 3

Vamos representar a transformação T(1,0,0) = (2,3,1), T(1,1,0) = (5,2,7), T(1,1,1) = (-2,0,7) por uma matriz A 100 = 231, A 110 = 527, A 111 = -207 . Sabemos que:
Podemos usar essas informações para montar a matriz . As colunas de correspondem às imagens dos vetores da base canônica. Vamos escrever as equações:

Passo 4

Subtraindo a primeira equação da segunda, temos:
A 110 - A 100 = 527 - 231 = 3-16
Isso nos dá a segunda coluna da matriz A 010 = 3-16 :

Passo 5

Agora, subtraindo a segunda equação da terceira, temos:
A 111 - A 110 = -207 - 527 = -7-20
Isso nos dá a terceira coluna da matriz A 001 = -7-20 :

Passo 6

Com as três colunas encontradas, a matriz A = 2 & 3 & -7 3 & -1 & -2 1 & 6 & 0 fica assim:

Passo 7

Para determinar se det(A) = 2 cdot det-1 & -26 & 0 - 3 cdot det3 & -21 & 0 + (-7) cdot det3 & -11 & 6 é injetiva, vamos calcular o determinante de = 2 cdot ((-1)(0) - (-2)(6)) - 3 cdot ((3)(0) - (-2)(1)) + (-7) cdot ((3)(6) - (-1)(1)) . Se o determinante for diferente de zero, a transformação é injetiva.
Calculando o determinante:
= 2 cdot (0 + 12) - 3 cdot (0 + 2) + (-7) cdot (18 + 1)
= 24 - 6 - 133 = -115

Resposta

Como o determinante de é (diferente de zero), a transformação é injetiva.

Exercícios relacionados