Mostre que não pode existir uma transfomação linear
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa mostrar que não existe uma transformação linear
tal que o núcleo de
(
) seja igual à imagem de
(
). Estamos lidando com álgebra linear aqui, especificamente com conceitos de transformações lineares, núcleo e imagem. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema da Dimensão (ou Teorema da Classificação), que relaciona as dimensões do domínio, núcleo e imagem de uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo e a imagem de uma transformação linear. O núcleo de
,
, é o conjunto de todos os vetores
em
que são mapeados para o vetor zero:
. Já a imagem de
,
, é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando
a algum vetor de
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o Teorema da Dimensão, que nos diz que para uma transformação linear
, onde
e
são espaços vetoriais finitos, a dimensão de
é igual à soma da dimensão do núcleo de
e da dimensão da imagem de
. Matemáticamente, isso é expresso como:
Passo 4
No nosso caso,
, então
. Segundo o enunciado, estamos assumindo que
. Vamos chamar essa dimensão comum de
, ou seja:
Passo 5
Aplicando o Teorema da Dimensão, temos:
Passo 6
Aqui encontramos um problema:
. Porém, a dimensão de um subespaço vetorial deve ser um número inteiro, pois representa a quantidade de vetores na base. Não faz sentido ter uma dimensão fracionária.
Passo 7
Como chegamos a uma contradição (dimensão não inteira), concluímos que nossa suposição inicial está errada. Portanto, não pode existir uma transformação linear
tal que
.
Resposta
Portanto, não existe uma transformação linear
com
.