Encontre ofluxo externo do campo através da superfficie dada pela região limitada pelo paraboloide e o plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o **fluxo externo** do campo vetorial através da superfície limitada pelo paraboloide e pelo plano . Para isso, vamos usar conceitos de **Cálculo Vetorial**, especialmente o **Teorema da Divergência**. Vamos precisar calcular a divergência do campo e integrar sobre a região fechada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o **fluxo**. O fluxo mede quanto de um campo vetorial atravessa uma superfície. Para calcular o fluxo externo, a gente pode usar o **Teorema da Divergência**, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a integral da divergência do campo dentro do volume limitado por essa superfície.

Passo 3

Vamos calcular a **divergência** do campo . A divergência é dada por: Onde . No nosso caso: Calculando as derivadas: Então, a divergência é:

Passo 4

Segundo o **Teorema da Divergência**, o fluxo através da superfície fechada é igual à integral da divergência sobre o volume : Mas vimos que , então:

Passo 5

Portanto, o fluxo externo do campo através da superfície limitada pelo paraboloide e pelo plano é **zero**.

Resposta

O fluxo externo é igual a .

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a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k)
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