Considere a função . Determine a assíntota vertical de a partir do estudo dos limites laterais e esboce o gráfico da função usando as assíntotas como guias.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a assíntota vertical da função . Isso está dentro do conteúdo de cálculo, mais especificamente no estudo de limites e assíntotas. Para resolver isso, a gente precisa analisar onde o denominador da função se aproxima de zero e ver como o numerador se comporta nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde o denominador é igual a zero, porque esses pontos são candidatos para assíntotas verticais. Igualando a zero:
Resolvendo para :
Então, o ponto é onde o denominador se anula.

Passo 3

Agora, precisamos verificar o que acontece com o numerador quando se aproxima de . Se o numerador não se anular nesse ponto, podemos ter uma assíntota vertical.
Vamos calcular o limite da função quando se aproxima de pela direita e pela esquerda.
Primeiro, pela direita ( ):
Substituindo no numerador:
Esse valor não é zero.
Agora, pelo limite, observamos que o denominador está se aproximando de zero, enquanto o numerador está se aproximando de um valor diferente de zero. Isso indica que a função está tendendo ao infinito nesse ponto.

Passo 4

Como o denominador se aproxima de zero e o numerador não se anula em , concluímos que existe uma assíntota vertical nesse ponto.

Resposta

A função possui uma assíntota vertical em .

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