Seja a função
definida por
. Faça o que se pede:
Esboce algumas curvas de nível da função
.
Esboce algumas curvas de nível da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para esboçar algumas curvas de nível da função
. As curvas de nível são linhas no plano
onde a função assume valores constantes. Para resolver isso, precisamos saber um pouco sobre funções de duas variáveis e como encontrar essas curvas quando a função é linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Imagine que você tem uma montanha e quer desenhar linhas que representam altitudes iguais. Cada linha é uma curva de nível. No nosso caso, a função
expressa uma relação linear entre
e
, então suas curvas de nível serão linhas retas.
Passo 3
Para encontrar as curvas de nível, escolhemos diferentes valores constantes para
. Vamos chamar esse valor de
. Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para
em termos de
e
:
Isso mostra que, para cada valor de
, a equação representa uma linha reta com inclinação
e intercepto no eixo
dependendo de
.
Passo 5
Vamos escolher alguns valores para
para desenhar diferentes curvas de nível. Por exemplo, podemos escolher
.
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 6
Com essas equações, podemos esboçar as linhas no plano
:
- A curva de nível para
intercepta o eixo em . - A curva de nível para
intercepta o eixo em . - A curva de nível para
intercepta o eixo em .
Todas as linhas têm a mesma inclinação
, então são paralelas entre si.
Passo 7
Agora, é só desenhar essas linhas no gráfico, marcando os pontos de interseção com o eixo
e usando a inclinação para traçar cada reta. Assim, teremos um conjunto de curvas de nível paralelas representando diferentes valores de
.
Resposta
As curvas de nível da função
são linhas retas paralelas com a equação geral
. Exemplos de curvas de nível para
são:
- Para
: - Para
: - Para
:
Essas linhas podem ser desenhadas no plano
como representações das curvas de nível da função
.
Exercícios relacionados
Considere a função
. Determine a assíntota vertical de
a partir do estudo dos limites laterais e esboce o gráfico da função usando as assíntotas como guias.
Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências
i)
i)
Encontre ofluxo externo do campo
através da superfficie dada pela região limitada pelo paraboloide
e o plano
.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)