Seja a função definida por . Faça o que se pede:
Esboce algumas curvas de nível da função .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para esboçar algumas curvas de nível da função . As curvas de nível são linhas no plano onde a função assume valores constantes. Para resolver isso, precisamos saber um pouco sobre funções de duas variáveis e como encontrar essas curvas quando a função é linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Imagine que você tem uma montanha e quer desenhar linhas que representam altitudes iguais. Cada linha é uma curva de nível. No nosso caso, a função expressa uma relação linear entre e , então suas curvas de nível serão linhas retas.

Passo 3

Para encontrar as curvas de nível, escolhemos diferentes valores constantes para . Vamos chamar esse valor de . Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para em termos de e :
Isso mostra que, para cada valor de , a equação representa uma linha reta com inclinação e intercepto no eixo dependendo de .

Passo 5

Vamos escolher alguns valores para para desenhar diferentes curvas de nível. Por exemplo, podemos escolher .
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Com essas equações, podemos esboçar as linhas no plano :
  • A curva de nível para intercepta o eixo em .
  • A curva de nível para intercepta o eixo em .
  • A curva de nível para intercepta o eixo em .
Todas as linhas têm a mesma inclinação , então são paralelas entre si.

Passo 7

Agora, é só desenhar essas linhas no gráfico, marcando os pontos de interseção com o eixo e usando a inclinação para traçar cada reta. Assim, teremos um conjunto de curvas de nível paralelas representando diferentes valores de .

Resposta

As curvas de nível da função são linhas retas paralelas com a equação geral . Exemplos de curvas de nível para são:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Essas linhas podem ser desenhadas no plano como representações das curvas de nível da função .

Exercícios relacionados

Considere a função . Determine a assíntota vertical de a partir do estudo dos limites laterais e esboce o gráfico da função usando as assíntotas como guias.
Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências
i)
Encontre ofluxo externo do campo através da superfficie dada pela região limitada pelo paraboloide e o plano .
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)