Encontre ofluxo externo do campo
através da superfficie dada pela região limitada pelo paraboloide
e o plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o fluxo externo do campo vetorial
através da superfície limitada pelo paraboloide
e pelo plano
. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial, especialmente o Teorema da Divergência. Vamos precisar calcular a divergência do campo e integrar sobre a região fechada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o fluxo. O fluxo mede quanto de um campo vetorial atravessa uma superfície. Para calcular o fluxo externo, a gente pode usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a integral da divergência do campo dentro do volume limitado por essa superfície.
Passo 3
Vamos calcular a divergência do campo
. A divergência é dada por:
Onde
. No nosso caso:
Calculando as derivadas:
Então, a divergência é:
Passo 4
Segundo o Teorema da Divergência, o fluxo
através da superfície fechada é igual à integral da divergência sobre o volume
:
Mas vimos que
, então:
Passo 5
Portanto, o fluxo externo do campo
através da superfície limitada pelo paraboloide
e pelo plano
é zero.
Resposta
O fluxo externo é igual a
.