Encontre ofluxo externo do campo F(x, y, z) = -y i + x j + k através da superfficie dada pela região limitada pelo paraboloide x^2 + y^2 + z = 1 e o plano z = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o fluxo externo do campo vetorial através da superfície limitada pelo paraboloide e pelo plano . Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial, especialmente o Teorema da Divergência. Vamos precisar calcular a divergência do campo e integrar sobre a região fechada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o fluxo. O fluxo mede quanto de um campo vetorial atravessa uma superfície. Para calcular o fluxo externo, a gente pode usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a integral da divergência do campo dentro do volume limitado por essa superfície.

Passo 3

Vamos calcular a divergência do campo . A divergência é dada por:
Onde . No nosso caso:
Calculando as derivadas:
Então, a divergência é:

Passo 4

Segundo o Teorema da Divergência, o fluxo através da superfície fechada é igual à integral da divergência sobre o volume :
Mas vimos que , então:

Passo 5

Portanto, o fluxo externo do campo através da superfície limitada pelo paraboloide e pelo plano é zero.

Resposta

O fluxo externo é igual a .

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