Considere o produto interno canônica no
. Dados vetores unitários
e
, mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que, no espaço
com o produto interno padrão, o produto interno de dois vetores unitários
e
é igual a
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto interno (ou produto escalar) e propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto interno canônico no
. Para dois vetores
e
, o produto interno é definido como:
Isso é basicamente multiplicar as componentes correspondentes dos vetores e somar os resultados.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição aos vetores
e
:
Passo 4
Perceba que a expressão que obtivemos se parece com a fórmula da coseno da diferença de ângulos na trigonometria, que é:
Passo 5
Comparando as duas expressões:
Resposta
Portanto, mostramos que
.