Considere o produto interno canônica no R^2. Dados vetores unitários u=(cos (theta), sin (theta)) e v=(cos (alpha), sin (alpha)), mostre que lang<= u, vrang<==cos (theta-alpha).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que, no espaço com o produto interno padrão, o produto interno de dois vetores unitários e é igual a . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto interno (ou produto escalar) e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto interno canônico no lang<= u, v rang<= = u1 v1 + u2 v2 . Para dois vetores e , o produto interno é definido como:
Isso é basicamente multiplicar as componentes correspondentes dos vetores e somar os resultados.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição aos vetores lang<= u, v rang<= = cos (theta) cdot cos (alpha) + sin (theta) cdot sin (alpha) e :

Passo 4

Perceba que a expressão que obtivemos se parece com a fórmula da coseno da diferença de ângulos na trigonometria, que é:
cos (theta - alpha) = cos (theta) cos (alpha) + sin (theta) sin (alpha)

Passo 5

Comparando as duas expressões:
lang<= u, v rang<= = cos (theta) cos (alpha) + sin (theta) sin (alpha) = cos (theta - alpha)

Resposta

Portanto, mostramos que .

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