Encontre P(Y <= 1 / 4 mid X=1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a probabilidade de que a variável aleatória seja menor ou igual a , dado que a variável vale 1. Isso está dentro do assunto de probabilidade condicional. Para resolver isso, vamos precisar da definição de probabilidade condicional e, se disponível, das distribuições de e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é probabilidade condicional. A probabilidade condicional P(A mid B) = P(A cap B)P(B) representa a probabilidade do evento acontecer dado que o evento já aconteceu. A fórmula para isso é:
No nosso caso, é e é .

Passo 3

Aplicando a fórmula da probabilidade condicional, temos:
P(Y <= 14 mid X = 1) = P(Y <= 14 cap X = 1)P(X = 1)
Aqui, representa a probabilidade conjunta de e .

Passo 4

Para avançar, precisamos calcular a probabilidade conjunta P(Y <= 14 cap X = 1) = integral-infty^14 fY|X(y mid 1) , dy . Se tivermos uma função de densidade conjunta , podemos integrá-la sobre a região onde e :
Se e forem variáveis discretas, somamos as probabilidades conjuntas correspondentes.

Passo 5

Agora, substituímos os valores encontrados na fórmula da probabilidade condicional. Se conhecermos P(Y <= 14 mid X = 1) = Valor calculado da probabilidade conjuntaValor da probabilidade de X = 1 e , basta substituir na equação:

Resposta

A probabilidade é igual a .

Exercícios relacionados