Uma prefeitura deseja reduzir seus custos com combustíveis. Não confiando nas especificações do fabricante, já que as condições de uso dos veículos não são ideais, a prefeitura deseja saber se duas marcas de carro apresentam o mesmo consumo ou se uma delas é mais econômica. Para tomar a decisão acerca de qual comprar, foi analisada uma amostra de 22 automóveis das duas marcas, obtendo o resultado apresentado, a seguir. Assumindo
e populacões normalmente distribuídas e com variâncias populacionais estatisticamente iguais, seria possível, por meio dos testes de hipóteses, afirmar que o carro Andaluz é mais econômico, isto é, que apresenta uma média populacional inferior a do Reluzente? (4,0 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A prefeitura quer saber se o carro Andaluz é mais econômico que o Reluzente. Isso envolve comparar o consumo médio de combustível das duas marcas. Para isso, vamos usar testes de hipóteses dentro da matéria de estatística inferencial, mais especificamente, um teste para comparar duas médias com variâncias iguais. Precisamos dos dados das duas amostras (como médias, desvios padrão e tamanhos das amostras) para seguir adiante.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossas hipóteses:
- Hipótese nula (H₀): A média de consumo do Andaluz é igual à do Reluzente. Ou seja, μ₁ = μ₂.
- Hipótese alternativa (H₁): A média de consumo do Andaluz é menor que a do Reluzente, ou seja, μ₁ < μ₂.
Queremos ver se há evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula a favor da hipótese alternativa.
Passo 3
Agora, vamos calcular a média e o desvio padrão de cada amostra. Suponha que temos os seguintes dados:
-
Andaluz:
- Tamanho da amostra (n₁) = 11
- Média (x̄₁) = 8 km/l
- Desvio padrão (s₁) = 0,5 km/l
-
Reluzente:
- Tamanho da amostra (n₂) = 11
- Média (x̄₂) = 9 km/l
- Desvio padrão (s₂) = 0,6 km/l
Passo 4
Como estamos assumindo que as variâncias são iguais, vamos calcular o desvio padrão combinado (s_p) usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, calculamos o erro padrão da diferença das médias (SE):
Passo 6
Em seguida, calculamos o estatístico t:
Passo 7
Agora, vamos determinar o valor crítico para um teste unilateral com α = 5% e graus de liberdade (df) = n₁ + n₂ - 2 = 20. Consultando a tabela t de Student, o valor crítico para t₀,0.05 com 20 df é aproximadamente -1,725.
Passo 8
Comparamos nosso t calculado (-4,237) com o valor crítico (-1,725):
Como -4,237 < -1,725, rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Sim, ao nível de significância de 5%, há evidências estatísticas para afirmar que o carro Andaluz é mais econômico que o Reluzente.